injective surjective

[invite4ae9bdf0]

bns qui peut m'aider
1)montrer que une fonction f : E → F est injective si et seulement si il existe une fonction g :F → E telle que g∘f soit égale à l'application identité sur E
2)montrer que f : E → F est surjective si et seulement si il existe une fonction g : F → E telle que f∘g soit égale à l'application identité sur F
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Tu as déjà posé la première question ici (énoncé presque identique) : http://forums.futura-sciences.com/ma...-identite.html

Sinon, où exactement as-tu des problèmes dans les démonstrations demandées ? Expose nous ce que tu es arrivé à faire pour que l'on puisse t'aider.

Cordialement

[PlaneteF]

Remarque : Pour la question 2 , la démonstration dans le sens nécessite l'axiome du choix pour construire la fonction .

Cdt

[PlaneteF]

... je complète mon message précédent ...

Une façon de procéder est de considérer l'ensemble d'images réciproques de : (ainsi est un ensemble d'ensembles). Soit une fonction de choix sur . permet de construire immédiatement une fonction telle que demandée par l'énoncé.

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

(...) l'ensemble d'images réciproques de (...)

Ce morceau de phrase est imprécis, ... je précise donc : est l'ensemble des images réciproques des singletons de par .

[PlaneteF]

Encore une petite remarque complémentaire :

Maintenant peut-être que tu ne connais pas cet axiome du choix et la notion de fonction de choix. Dans ce cas on peut toujours faire une rédaction qui fait appel à cet axiome mais implicitement. En effet si est surjective cela veut dire que tout élément de possède au moins un antécédent dans . On suppose alors que pour tout élément de on peut choisir un de ses antécédents dans . Cette dernière phrase fait appel implicitement à l'axiome du choix, car "pouvoir choisir" cela veut bien dire qu'il existe une fonction de choix pour pouvoir le faire !

Cdt