Preuve de continuité par définition de limite

[Solidaromer]

je me demande si j'utilise la bonne méthode ou pas bon on me demande de montrer la contunuité de sur IR* en utilisant la définition de la limite
j'ai voulu alors montrer que pour tout x de IR* la limite de existe. j ai procédé par absurde et supposé l'existance d'un certain a tel que la limite de en a>0 n'existe pas donc cette limite tend vers +oo or est decroissante sur IR+*
alors pour tout 0<<a la limite de n'existe pas donc a est du voisinage de 0+ (on fait de meme pour IR*-) et on déduit que les points ou les limites n'existent pas sont du voisinage de 0 donc pour tout x de IR* la limite en x existe donc elle est égale a f(x) d'ou la continuité
si cette methode ne marche pas j’espère être guidé vers la bonne méthode .
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[gg0]

Bonsoir.

Ceci est erroné : " la limite de en a>0 n'existe pas donc cette limite tend vers +oo ". sin(1/x) n'a pas de limite en 0, sans y tendre vers l'infini.

Ici, il est assez simple d'utiliser les propriétés des limites, ou, au moins la définition. Je ne sais pas trop dans cet énoncé ce qu'il est possible d'utiliser (continuité de x³ ? seulement de x ?) .

Cordialement.

[Ragnis]

Selon moi il suffit de dire que la fonction ne se prolonge pas en 0 (et donc comme l'a dit gg0 d'utiliser les limites).

[Solidaromer]

justement c'est le fait que cette limite n'existe pas ne veut pas dire qu'elle est infinie (j'aurais pas du proceder comme cela mais bon..) en ce qui concerne l'énoncé le voila établire la continuité en tout point de IR* de la fonction f(x)=

Merci bien pour votre temps

[A voir en vidéo sur Futura]

[SyMbi0z]

Ta fonction est défini sur ]-oo ; 0[U]0;+oo[ Tu doit montrer que pour chaque bornes de cette intervalle tes limites éxistent selon moi.

[Ragnis]

Ta fonction est défini sur ]-oo ; 0[U]0;+oo[ Tu doit montrer que pour chaque bornes de cette intervalle tes limites éxistent selon moi.

Attention le fait que les limites existent n'est pas suffisant.

En effet il faut prendre la fonction lorsque celle ci tend vers chacun des points caractéristiques (+ et - infini et la borne en 0) cependant il faut que ces limites existent et qu'elles soient finies. Dans le cas de la discontinuité en 0, lorsque la fonction tend vers 0+ et 0- on obtient un résultat non fini et donc il n'y a pas prolongement en 0.

[gg0]

Les limites éventuelles n'ont aucun rapport avec la continuité !

SyMbi0z, tu devrais revoir ce qu'est la continuité (définition).

[gg0]

Solidaromer,

que peux-tu utiliser ? Si c'est seulement la définition de la continuité, détermine pour a non nul, la limite de 1/(x^3) quand x tend vers a et vérifie que c'est bien 1/(a^3). mais en tout cas, on ne le fera pas pour toi ...

Attention aux avis incorrects de Ragnis (qui n'a pas lu l'énoncé) et SyMbiOz.

[Ragnis]

Effectivement désolé oublie ce que j'ai noté... on exclut 0 dans l'énoncé... Dans ce cas là on ne peut pas te donner plus que ce que gg0 t'as déjà donné. A toi de jouer

[Solidaromer]

Bonsoir ,
bon si c'est simplement comme vous dites je suppose que la limite de f(x) tend vers l lorsque x tend vers a
j'ecris la définition de la limite au voisinage de a (quelque soit >0 il existe >0 tel que quelque soit x dans IR* inter ]a-,a+[ tel que |f(x)-l|<
et puisque a appartiens au voisinage de a on va trouvé (apres biensure avoir definis les variables) que |f(a)-l|<
donc la limite tend vers f(a) en a
(aussi je me demande lorsqu'on dit la limite n'existe pas est ce que ca inclus le cas ou la limite est infinie aussi bien que les cas des fonctions periodiques ou le cas de limite infini est inclus dans le cas des limtes existant ca me rend un peu confus )

[PlaneteF]

Bonsoir,

bon si c'est simplement comme vous dites je suppose que la limite de f(x) tend vers l lorsque x tend vers a
j'ecris la définition de la limite au voisinage de a (quelque soit >0 il existe >0 tel que quelque soit x dans IR* inter ]a-,a+[ tel que |f(x)-l|<
et puisque a appartiens au voisinage de a on va trouvé (apres biensure avoir definis les variables) que |f(a)-l|<
donc la limite tend vers f(a) en a

Ce n'est vraiment pas clair ce que tu dis là ... Tu ne démontres rien là, ... où utilises-tu le fait que et que la limite en à trouver est ??!

Ce qu'il faut montrer c'est :




Cordialement

[PlaneteF]

... je poursuis, ... et donc si l'on se donne un quelconque, on doit exhiber un qui dépend de et qui répond à la définition précédente.

Donc il faut construire un tel .

Cdt

[Solidaromer]

autrement dit je doit trouver une valeure de alpha en fonction de epsilon qui verifie la definiton de la limite c'est ca ? et si a apparais sur cette ecriture de alpha ?
car j ai trouvé que alpha est egale à a-(1/((1/a^3) - epsilon))^(1/3)
désolé pour l’écriture difficile

[PlaneteF]

Oui, ... tu n'as jamais fait ce genre de démonstration auparavant ?

[Solidaromer]

si mais je n'ai personne pour me corriger ou me guider en plus je travail sur des tds sans corrigé pour être plus combattif donc parfois je ne sais même pas si c'est la bonne méthode ou pas

[PlaneteF]

Tu n'as pas de prof ?

[PlaneteF]

et si a apparais sur cette ecriture de alpha ?

Oui.

car j ai trouvé que alpha est egale à a-(1/((1/a^3) - epsilon))^(1/3)

Le que tu proposes n'est pas forcément , donc rien que pour cela il ne convient pas.


Cdt

[PlaneteF]

Autre remarque : On ne cherche pas le mais un qui convient (car il y en a une infinité qui conviennent).

Cdt

[PlaneteF]

Pour démarrer tu peux remarquer que :



Après il faut utiliser le fait que l'on suppose que , et aussi utiliser l'inégalité , ce qui conduit à

On peut remarquer aussi que puisque l'on a , on obtient

Avec tout cela, on a des ingrédients suffisants pour donner une (première) condition suffisante sur te permettant de majorer


Cdt

[Solidaromer]

cela ne nous donnera t-il pas une minotation en en fonction de ?

[Solidaromer]

Tu n'as pas de prof ?

non malheureusement

[Solidaromer]

et dans mon ecriture précédente puisqu'on travail avec un epsilon quelconque on peux choisir un epsilon positif qui réalisera la positivité de
par exemple

[Solidaromer]

pour la methode que vouys proposez j'ai pu majorer l'écriture que vous avez donné par

mais je n'ai pas pu avancer apres

[acx01b]

salut,
je crois que le prof demande de faire ça quand il dit "prouver que f est continue en x" :
et
c'est à dire surtout prouver la limite de g, le reste étant juste des égalités et des noms/définitions

après je me demande, si f est une fonction plus ou moins usuelle, est-ce que c'est toujours trivial comme question ?

[PlaneteF]

Pour poursuivre le message#19 :

On peut choisir tel que

Il vient alors :

et

Du coup on arrive à une inégalité de la forme : où est une quantité qui ne dépend que de (et c'est là tout l'intérêt du travail précédent qui était d'obtenir cette forme d'inégalité avec qui ne dépend ni de ni de ).

A partir de là la construction d'un qui convient est immédiate.


Cdt