Applications

[Jujulive]

Bonsoir,

je rencontre des difficultés face à un exercice. J'ai eu du mal à démarrer, mais ce que j'ai pu faire ne me convient point. En outre, par exemple, je ne sais pas si phiB donne 1 si x appartient à B (et non plus à A) OU 0 si x n'appartient pas à B.

Voici mes éléments de réponses :

1) a. Pour tout x appartenant à E :

phiA = 1 (car x appartient à A)

phiAbarre = 0 (car x n'appartient pas à A)

D'où phiA = 1 - 0 = 1 - phiAbarre

-------------
Pour tout x appartenant à E :

phiB = 1 si x appartient à B

phiA = 1 si x appartient à A

Donc phiAinterB = 1 = phiA*phiB


b) phiAUB = 1

phiAinterBbarre = phiA*phiBbarre = 0

phiAdeltaB = phiAUB*phiAbarreUBbarre = 0

Pour les questions suivantes, je ne trouve pas le bout de la corde pour démarrer. Auriez vous des indices à me donner ou un mot clé me permettant de trouver une voie vers la solution ?

Les questions traitées précédemment sont-elles correctes ? Si non, pourriez vous me diriger vers la bonne voie ?

Merci par avance

Cordialement
-----

[PlaneteF]

Bonsoir,

Tu ne démontres absolument rien là. Pour le 1)a) il faut clairement distinguer les 2 cas et

Même principe ensuite.


Cordialement

[gg0]

phiA = 1

Manifestement, tu n'as pas suffisamment lu l'énoncé pour savoir ce que tu écris.
Avant de venir demander de l'aide, lis l'énoncé jusqu'à avoir compris ce qu'il dit et vraiment traité les questions qu'il pose.
Ici d'ailleurs, c'est simple.

Mais écrire n'importe quoi (du genre "Pour tout x appartenant à E ... (car x appartient à A)" n'est pas sérieux ! Tu donnes l'impression d'avoir pensé "j'écris n'importe quoi, il verrons que j'ai essayé et me diront quoi faire". Non, on le voit, tu n'as rien essayé.

[PlaneteF]

Remarque :

On pourrait prolonger l'énoncé avec une question 2)c) qui demanderait de démontrer que :

 Cliquez pour afficher

Puisque est bijective, il vient :

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jujulive]

Bonsoir,

Dsl si je n'ai pas compris l'énoncé. Cependant, c'est pour cela que je demande de l'aide, afin de m'apporter une meilleure compréhension du sujet, et non pas une réponse toute faite.

Je reformule les réponses aux questions ci dessous. Pourriez vous comme l'a fait PlaneteF (que je remercie au passage) m'indiquer ce qui est juste ou faux en rajoutant une petite remarque indicatrice ?

1.a)

--Si x appartient à A:

phiA = 1 - phiA'barre' CAR phiA = 1 et phiA'barre' = 0

-- Si x n'appartient pas à A:

phiA = 1 - phiA'barre' CAR phiA = 0 et phiA'barre' = 1

-- Si x appartient à A, et x appartient à B, alors x appartient à AinterB

D'où phiA = 1 et phiB = 1, donc phiAinterB = 1 = phiA*phiB

(j'ai aussi traité le cas où x n'appartient ni à B, ni à A / appartient à B, mais pas à A / appartient à A mais pas à B.

b) Je maintiens ce que j'ai rédigé sur mon premier message (mais faut-il distinguer les cas où x appartient à AUB, alors égal 1 et x n'appartient pas à AUB alors égal 0 ?)

2.a)

Supposons que A = B :

phiAinterB = phiAinterA=phiA

phiAinterB = phiBinterB = phiB

D'où phiA = phiB

--------------

Réciproquement, supposons phiA = phiB

On sait que phiA = 1 si x appartient à A, de même pour B, d'où A = B
Même raisonnement quand x n'appartient pas à A ni à B, puisque phiA = phiB = 0
Donc A = B

b) Pour montrer l'injectivité, je n'arrive pas à montrer l'implication phi(x) = phi(x') implique x = x'
Pour la surjection, de même, je ne trouve pas le moyen de montrer que pour tout y il existe x tel que y = phi(x)

3) je ne vois pas comment l'expliquer clairement.

Merci par avance et bonne soirée à vous tous

Cordialement

[gg0]

Tu n'as toujours pas lu l'énoncé !

Pour une partie A de X donnée, phi_A est une application, une fonction. Donc écrire "CAR phiA = 1" n'a aucun sens, n'est pas un nombre.

Tant que tu écris ainsi sans avoir décodé l'énoncé, pourtant clair, et que tu nous as copié (sans le lire ???), inutile qu'on te dise quoi que ce soit, tu ne comprendrais pas.

Donc force-toi à comprendre les mots, les phrases, la signification de ton énoncé. D'ailleurs, une fois ceci fait, tu vas avoir honte d'avoir demandé de l'aide tellement c'est facile.

Cordialement.

[Jujulive]

Bonsoir gg0,

Je tiens à préciser que quand je parlais de phiA, je voulais dire phiA(x). En outre, étant donné que je ne sais pas faire de beaux phi comme les tiens, j'ai trouvé plus rapide et simple de mettre phiA tout court.

Mais tu as raison, phiA est une application, alors que phiA(x) est un nombre, ais-je raison ?

Donc en partant du principe que mes phiA, on leur ajoute (x), mes affirmations deviennent juste ?

Cordialement

[gg0]

Alors on peut leur donner un vrai sens. Et le 1 a) est correct.

mais c'est malheureux que tu n'aies pas été capable de même simplement copier ce qui est dit dans l'énoncé : C'est phiA(x) qui vaut 0 ou 1.
Et comme tu n'as rien fait pour le 1 b, je reste dubitatif sur ce que tu as compris ...
Si tu as vraiment compris, tu peux le rédiger correctement. Et dans le 1 a), justifier pourquoi quand x est dans A, "phiA'barre'(x) = 0"

Cordialement.

[Jujulive]

Re gg0,

Merci déjà de l'intérêt et du temps passé à me répondre.

----
On sait que phiA'barre' donne :

1 si x appartient à phiA'barre'
0 si x n'appartient pas à phiA'barre'

Donc si x appartient à A, il n'appartient pas à son complémentaire, du coup phiA'barre'(x) = 0.
-------------

Pour la 1.b) j'ai distinguer tous les cas possibles et donné leur valeur. C'est plutot long à taper sur clavier, je vais donc te montrer ce que j'ai fait pour le premier cas : phiAUB

J'ai distinguer tous les cas : soit 4 cas au total (x appartient à A et B / x n'appartient pas à A mais appartient à B /...)

Par exemple :

Si x appartient à A : phiA(x) = 1, et si x n'appartient pas à B, phiB(x) = 0

Dans tous les cas (sauf 1), comme on a une union, x appartient à AUB. Donc phiAUB(x) = 1

Dans le cas où x n'appartient ni à A et B, alors x n'appartient pas à AUB, donc phiAUB(x) = 0

J'ai utilisé ce même raisonnement pour les autres cas. Est-t-il bon ? Si oui, qu'en est-il des questions suivantes et de ce que j'ai pu faire ?

Bonne soirée

Cordialement

[PlaneteF]

Pour la 1.b) j'ai distinguer tous les cas possibles et donné leur valeur. C'est plutot long à taper sur clavier, je vais donc te montrer ce que j'ai fait pour le premier cas : phiAUB

J'ai distinguer tous les cas : soit 4 cas au total (x appartient à A et B / x n'appartient pas à A mais appartient à B /...)

Par exemple :

Si x appartient à A : phiA(x) = 1, et si x n'appartient pas à B, phiB(x) = 0

Dans tous les cas (sauf 1), comme on a une union, x appartient à AUB. Donc phiAUB(x) = 1

Dans le cas où x n'appartient ni à A et B, alors x n'appartient pas à AUB, donc phiAUB(x) = 0

J'ai utilisé ce même raisonnement pour les autres cas. Est-t-il bon ? (...)

Sans même vérifier si ce que tu dis est correct, on peut dire que tu ne réponds pas à la question qui te demande, en utilisant les 2 résultats de la question précédente, d'exprimer en fonction de et .

Un indice :


Cdt

[Jujulive]

Bonsoir,

J'obtiens ceci :

phiAUB = 1 - phi(AUB)barre d'après la 1.a)

= 1 - phiAbarreINTERBbarre
= 1- phiAbarre*phiBbarre d'après la 1.a) tjrs.
= 1- (1-phiA)*(1-phiB)
= phiA*phiB - phiA-phiB

Si le résultat est faux, dis le moi et je tenterais de le corriger demain sans indice en plus.
J'essayerais de faire le reste aussi demain dès que le premier est juste à 100 %

Cordialement

[PlaneteF]

Tu t'es juste gaufré(e) dans les signes.

Cdt

[Jujulive]

Bonsoir,

Oulà, dsl pour mon erreur de signe... Bon voici ce que j'ai trouvé :

phiAUB = phiA + phiB - phiA*phiB

phiA\B = phiA - phiA*phiB

phiAdeltaB = phiA*phiB*(phiA*phiB -1 - phiB - phiA) + phiA + phiB Car phiAdeltaB = phiAUB*phiAbarreUBbarre ET phiAbarreUBbarre = 1-phiAInterB

Je pense que cela est juste.

C'est tout est ok, je souhaiterais :

--- savoir si la 2.a) est bonne

---savoir comment réaliser la surjection pour la 2.b) (j'ai seulement réussi à prouver qu'elle est injective)

---Pour la 3) je ne vois pas comment démarrer. Y a t-il un terme à privilégier plutôt qu'un autre (phi de l'image réciproque de B par f ou la composée de psi et f)?

Cordialement

[gg0]

Pour la 2a), tu t'es compliqué la vie. le cas A=B est parfaitement évident si tu sais ce que veut dire =. Il ne reste que la réciproque qui est rapidement prouvée en montrant que tout élément de A est dans B. Par contre ton explication
"On sait que phiA = 1 si x appartient à A, de même pour B, d'où A = B"
est du baratin pur. Quelle est la règle mathématique que tu utilises ?

Donc à reprendre pour rédiger correctement (une preuve est une suite d'applications de règles et théorèmes).
Pour le 2 b, où as-tu montré l'injectivité (réponse évidente) ? Pour la surjectivité, il suffit de faire fonctionner la définition, donc prendre une fonction de E dans {0;1} et montrer qu'elle est une fonction caractéristique. Si tu as compris l'énoncé, c'est aussi quasi évident.

Cordialement.

[Jujulive]

Bonsoir gg0,

C'est vrai que ma réciproque est un peu tirée par les cheveux :b. En reprenant ce que tu as dit en faite, puisque x appartient à A et à B et que phiA=phiB=1, on en déduit que tout élément de A est dans B et réciproquement (car immédiat). De même, quand x n'appartient ni à A et B, alors tout élément qui n'est pas dans B, n'est pas non plus dans A, et comme phiA=phiB=0, alors A = B.

Je n'ai pas écrit la preuve de l'injection, la voici :

-- Pour tout (A,B)appartenant à E², PHIA =PHIB
Or, en 2.a), on a prouvé que phiA =phiB <=> A = B
Ainsi, PHIA=PHIB => phiA = phiB <=> A = B (puisque PHI(A) = phiA et PHI(B)=phiB)
Donc PHI est injective

(à noter qu'en tapant ce que j'ai fait au clavier, je doute de la justesse de mes propos...)

---- Je vais tenter PHI surjective :

Soit phiA appartient à F(E,{0,1})

Il existe A qui appartient à P(E), tel que PHIA = phiA

Or PHI est injective, donc il existe x qui appartient à {0,1} tel que : A = phiA(x)

PHI est surjective

Mais ce raisonnement me semble étrange.

Cordialement

[PlaneteF]

phiAdeltaB = phiA*phiB*(phiA*phiB -1 - phiB - phiA) + phiA + phiB Car phiAdeltaB = phiAUB*phiAbarreUBbarre ET phiAbarreUBbarre = 1-phiAInterB

Le résultat est beaucoup plus simple que çà. Tu peux utiliser le fait que :

1)

2) et sont disjoints


Cdt

[Jujulive]

Bonsoir PlaneteF,

Certes le résultat est compliqué, mais est-il juste sinon ?

J'ai essayé de suivre tes indications et je trouves :

phiAdeltaB = phiA*(1-phiB)*(1-phiB(1-phiA))+phiB*(1-phiA)

Cordialement

[gg0]

Bonsoir gg0,

C'est vrai que ma réciproque est un peu tirée par les cheveux :b. En reprenant ce que tu as dit en faite, puisque x appartient à A et à B et que phiA=phiB=1, on en déduit que tout élément de A est dans B et réciproquement (car immédiat). De même, quand x n'appartient ni à A et B, alors tout élément qui n'est pas dans B, n'est pas non plus dans A, et comme phiA=phiB=0, alors A = B.

Je n'y comprends rien. le premier passage en gras est idiot ! Ou fait référence à quelque chose que je ne comprends pas, car on n'a jamais parlé de x auparavant. Le deuxième est inacceptable et montre que tu n'est pas sérieux(se) : Je t'ai expliqué que c'est une énormité, phiA est une fonction, pas 1.
Je commence à me demander sérieusement si c'est la peine de continuer. Si tu ne fais pas l'effort d'écrire intelligemment, j'arrête.

Je n'ai pas écrit la preuve de l'injection, la voici :

-- Pour tout (A,B)appartenant à E², PHIA =PHIB
Or, en 2.a), on a prouvé que phiA =phiB <=> A = B
Ainsi, PHIA=PHIB => phiA = phiB <=> A = B (puisque PHI(A) = phiA et PHI(B)=phiB)
Donc PHI est injective

Ok. Tu l'avais démontré à la question précédente.

(à noter qu'en tapant ce que j'ai fait au clavier, je doute de la justesse de mes propos...)

---- Je vais tenter PHI surjective :

Soit phiA appartient à F(E,{0,1})

Il existe A qui appartient à P(E), tel que PHIA = phiA

Or PHI est injective, donc il existe x qui appartient à {0,1} tel que : A = phiA(x)

PHI est surjective

Mais ce raisonnement me semble étrange.

Pour cause qu'il est étrange : Tu as admis au départ ce qu'il y avait à démontrer : "Il existe A qui appartient à P(E), tel que PHIA = phiA" Tu as pris une fonction phiA, pas une fonction de F(E,{0,1})
Essaie maintenant sans tricher :
"Soit f appartenant à F(E,{0,1}) ..." Autant écrire en bon français. A toi de continuer sans admettre la conclusion de façon subreptice.

Cordialement.

[Jujulive]

Bonsoir,

Dsl pour mon manque de rigueur. Je suis encore allé un peu vite et je n'ai pas relu.

J'ai à nouveau tenté, voici ce que cela donne :

Soit y appartenant à F(E,{0,1})
Alors, il existe x appartenant à phiA, tel que y = phiA(x)
Par l'application PHI, on a :
PHI(y) = PHI(phiA(x))

On pose y' = PHI(y)
Ainsi, y' = PHI(phiA(x))

Donc PHI est surjective

Bonne soirée

Cordialement

PS : je serais intéressée par ton cursus gg0. En effet, tu as sans l'ombre d'un doute de très grosses facultés en maths (à moins que ce soit moi qui soit très très nul :b). Ce n'est en aucun cas pour porter un jugement, c'est juste pour que je me fasse une idée du parcours pour devenir excellent en maths. Car oui, même si je suis mauvais, j'aime les maths (mais bien plus la physique quand même :b)

[gg0]

Je commence par mon cursus : Bac math élém (dernière année de son existence), études en fac, enseignement pendant 35 ans et maintenant retraite bien gagnée. je n'ai jamais été exceptionnel (la prépa n'était pas pour moi), mais un très bon étudiant passionné par les maths.

Revenons à ce que tu écris :
Soit y appartenant à F(E,{0,1}) Pourquoi y ?? Tu n'as pas lu ce que j'écrivais ? Tu ne sais pas ce qu'est F(E,{0,1}) ?
Alors, il existe x appartenant à phiA, tel que y = phiA(x) C'est du n'importe quoi ! "appartenant à phiA" ???

Très sérieusement, là tu écris sans réfléchir, tu ne fais pas des maths. Depuis le début, tu sembles refuser d'envisager ce que recouvre phiA, ce que c'est. Ou alors tu ne sais pas ce qu'est une fonction ! En supérieur, c'est grave ! on apprend ça en fin de troisième et en seconde.
La suite est une imitation d'écriture mathématique, qui ressemble à une preuve mathématique comme un dessin d'enfant de 3 ans ressemble à un Picasso.

Bon, si tu continues ainsi, inutile que je réponde. Donc soit tu réfléchis vraiment à l'énoncé, ses notations, etc. Et tu rédiges en comprenant parfaitement ce que tu écris, soit il ne sert à rien même qu'on écrive des corrigés (tu les copierais sans comprendre, croyant que tu fais des maths alors que tu ne fais que de l'écriture inintelligente.

Désolé !

[PlaneteF]

J'ai essayé de suivre tes indications et je trouves :

phiAdeltaB = phiA*(1-phiB)*(1-phiB(1-phiA))+phiB*(1-phiA)

Si 2 ensembles et sont disjoints il est immédiat d'écrire que ... je te laisse le soin de compléter et d'utiliser ce résultat en reprenant le message#16.


Cdt

[Jujulive]

Bonsoir,

@gg0 : dsl de m'être trompé. Sache que je n'ai aucune mauvaise volonté. Tu me dis que tu écris des corrigés OR je souhaite juste savoir si mes réponses aux questions sont correctes. Dès lors qu'elles sont fausses, j'aime bien que l'on m'explique pourquoi et/ou vers quoi je ferai mieux de me diriger.

D'après ce que j'ai compris, pour justifier la surjection, je n'ai qu'une dernière chance ? Je ne comprends plus alors le principe d'un forum, surtout que j'essaye d'y mettre de mien. Peut-être qu'il y a un point qui m'échappe mais qui te semble ultra logique. J'espère juste avoir une réponse sur la justesse de mes écrits.

J'ai démontré la surjection très rapidement (et je n'en suis pas certain à 100% même si mes arguments me semblent logiques). Ah, aussi pour le "y", on l'utilise tout le temps en cours dès qu'on veux démontrer une surjection (ne soit donc pas si catégorique en disant que je ne lis pas tes messages alors que généralement je les lis 15 fois avant de te répondre...) :

Soit y appartenant à F(E,{0,1}) -----------> donc ici, "y" appartient à l'ensemble d'arrivé de PHI

OR, F(E,{0,1}) correspond à l'application phiA : donc j'en déduit que forcément, y = phiA

On sait qu'il existe A appartenant à P(E)

Par conséquent, par l'application PHI, on sait aussi que phiA = PHI(A) ----------> car PHI : A |--> phiA

OR, phiA = y = PHI(A)

Donc PHI est surjective

Voilà, j'ai essayé d'expliquer ce à quoi je pensais durant le déroulement de la preuve. J'attends avec impatience ta réponse et te remercie d'avance .

@PlaneteF : Si A et B sont disjoints, alors PhiAinterB = ensemble vide . Mais avant toute chose, ce que j'avais écrit était-il juste ? L'écriture à laquelle tu pense est-elle vraiment très courtes ? Pourquoi A et B serait forcement disjoints ?

Cordialement

[gg0]

Désolé Jujulive,

mais tu baratines autour des notations sans accepter de décoder ce qu'elles désignent. Et tu copies tes exemples de cours au lieu d'appliquer les méthodes qu'ils illustrent (ton baratin sur y est significatif et inquiétant). Tout ça t'évite de chercher, comme je te le demande depuis le début de quoi on parle. Par exemple tu ne sais pas ce qu'est F(E,{0,1}). Ta phrase qui ne veut rien dire " F(E,{0,1}) correspond à l'application phiA" le montre bien.

Pour l'instant, je n'ai rien à apporter. Apprends tes cours, lis de quoi on parle, ce que sont les notations, et ensuite applique les règles (définitions, théorèmes) sans imiter les exemples (les exemples servent à montrer comment fonctionnent les règles) ou les exercices (dont le seul intérêt est de mettre en oeuvre les règles).

Bon travail !

[Jujulive]

Je ne comprends pas pourquoi tu commence la démonstration par "Soit f appartenant à F(E,{0,1})"

Mais que veut dire alors F(E,{0,1}) ?

Cordialement

[PlaneteF]

Mais que veut dire alors F(E,{0,1}) ?

C'est l'ensemble des applications de vers

Cdt

[Jujulive]

Je suis donc parfaitement d'accord. C'est bien ce que j'avais compris. Mais alors, qu'est-ce qui ne va pas dans mon raisonnement ?

Cordialement

[PlaneteF]

Il n'y a même pas le moindre raisonnement dans ce que tu écris, tout simplement parce qu'il n'y a pas le moindre sens.

Cdt

[Jujulive]

Mais pour montrer que c'est surjectif, on suppose que y appartient à l'ensemble d'arrivé et on tente d'exhiber un x qui appartient à l'ensemble de départ tel que y = f(x) non ?

[gg0]

Si tu sais ce qu'est F(E,{0,1}), c'est encore plus grave, car tu ne t'en sers pas !!

[PlaneteF]

Mais pour montrer que c'est surjectif, on suppose que y appartient à l'ensemble d'arrivé et on tente d'exhiber un x qui appartient à l'ensemble de départ tel que y = f(x) non ?

Ah ... enfin quelque chose qui a un sens .

Maintenant les notations et sont mal-appropriées ici. Réécris la même chose mais avec une notation qui correspond à cet exo.

Cdt