Exercice sur la Nature d'une Série

[Summm]

Bonjour à tous,
Je suis en prépa, et après mes khôlles de Maths, j'ai pour habitude de refaire les exercices qu'on m'a donné chez moi...
Mais là, je n'arrive plus à prouver le résultat de cet énoncé:

" Etudier la nature de la série
où
avec le nombre de chiffres de l'écriture de n dans la base décimale. "

Je me souviens que ça converge, et d'une bonne partie du raisonnement, mais je me suis planté en le refaisant et je ne trouve pas mon erreur.
Voici ce que j'ai fait:

on pose
et on étudie la convergence de où

on se ramène (avec le théorème des séries alternées)
à étudier la décroissance de et sa convergence vers 0
où
car on a en fait

bon, la convergence vers 0 on l'a facilement avec une majoration grossière de par
mais pour la décroissance on est obligé de faire une comparaison somme/intégrale qui nous donne:

donc on veut avoir un minorant moins compliqué, et comme prouver la décroissance à partir d'un certain rang seulement nous conviendrait, on peut faire
des Développements Limités:
Après quelques calculs:


Puis:




Ce qui semble incohérent, puisqu'on aurait alors pour p suffisamment grand:


Pourtant je me souviens que c'est quelque chose dans le genre qu'on avait fait, et qu'après avoir l'inégalité plus simplifiée on avait plus qu'à s'en servir pour p suffisamment grand afin de prouver que
et la première partie finie.
Mais je n'arrive pas à trouver mon erreur... Pourriez vous m'aider s'il vous plaît?
-----

[Verdurin]

Bonjour,

l’erreur est ici :

[Summm]

Effectivement...
Je me suis trompé dans l'ordre de mes éléments de ma comparaison...
On a donc:

ce qui donne:

puis en sommant sur :


Et on a donc pour p assez grand:

C'est beaucoup mieux...
C'est bête de faire une faute pareille!
Merci beaucoup.

[Summm]

Encore une chose, pourriez-vous s'il vous plaît vérifier que ma conclusion est juste s'il vous plaît:
On arrive alors à prouver que converge.
On veut maintenant prouver que converge à son tour.
Pour cela on utilise les notations:


On a alors:
Objectif: majorer pour p,n quelconques par un terme de limite quand nulle quand n,p tendent vers l'infini.
Pour n fixé, il existe un unique p tel que
de sorte que la différence a tous ses termes dans et donc tous de mêmes signes.
Il vient:


quand n tend vers l'infini:
qui tend vers 0 pour p qui tend vers l'infini.
C'est correct?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Summm]

J'ai un doute sur cette méthode, vis à vis du fait que n et p ne sont pas vraiment indépendant:

[Summm]

Pas de réponse?