Intégrale de ln(sinx)dx de 0 à Pi

[mama8687]

Bonjour, je n'arrive pas à calculer l'intégrale de ln(sinx)dx de 0 à Pi en utilisant la méthode des résidus.
En utilisant une méthode "traditionnelle" je trouve -Pi*ln(2).
Dans l'exercice, on doit y parvenir en intégrant la fonction z→ ln z/(z−1) : je trouve qu'elle est holomorphe sur C\R- mais après je bloque et je ne vois pas comment utiliser cette intégrale. Le contour est un cercle centré en 1 de rayon 1 avec un arc de cercle autour de 0 de rayon epsilon qui tend vers 0.
Merci de votre aide.
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[mama8687]

Je précise que comme il n'y a pas de singularité en 1, je ne vois pas comment appliquer le théorème des résidus et je ne vois pas le rapport entre Log(z)/(z-1)et ln(sinx).

[breukin]

Pour la représentation du log, on a deux possibilités, celle où la coupure est le demi-axe négatif (argument entre et ), et celle où la coupure est le demi-axe posittif (argument entre et ).
Et ça va conduire à des domaines d'holomorphie différents pour la fonction à intégrer.
Pouvez-vous préciser le contour exact suggéré : par quels segments sont reliés les deux cercles ?

[mama8687]

Voici le contour, je ne sais pas trop comment le paramétré :
z(t) = 1+ exp(it) pour t appartenant à [Pi-epsilon;Pi+epsilon]
z(t) = epsilon*e(it) pour t appartenant à [Pi+epsilon;Pi-epsilon]
Mais je pense que c'est faux et surtout ça ne donne rien après quand j'essais d'intégrer ...

Pièce jointe supprimée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[JPL]

Toutes les illustrations doivent être postées dans un format graphique (gif, png ou jpg). Merci.

[breukin]

C'est votre choix de contour, ou c'est le contour suggéré/imposé par l'exercice ?

En plus, ce n'est pas un contour...

[mama8687]

Non c'est un choix imposé par un dessin, comme je n'ai pas pu vous le donner par pièce jointe j'ai trouvé le dessin p.5 de ce lien (Fig3) : http://ipht.cea.fr/Pisp/emmanuel.schenck/LP336-TD.pdf

[breukin]

OK, en plus j'avais mal lu, je pensais au logarithme de la fraction rationnelle.

En remplaçant z par son paramétrage sur chacun des deux contours, qu'est-ce que cela donne ?

[breukin]

En fait, le grand arc cercle peut être paramétré par pour .

Les points limites sont qui, après calcul, ont pour module et arguments

L'intégrale de contour, qui vaut 0 puisque la fonction est holomorphe, vaut donc :

La seconde intégrale tend vers 0.

La première peut être décomposée en 2 partie, et par changement de variable "opposé" pour la partie "basse", on obtient en regroupant les deux intégrales :

Et le lien avec est là... je vous laisse transformer.

[joel_5632]

bonjour

Et la méthode traditionnelle pour trouver l'intégrale de ln(sinx)dx de 0 à Pi, c'était quoi ?

[topmath]

Bonjour à tous :

bonjour

Et la méthode traditionnelle pour trouver l'intégrale de ln(sinx)dx de 0 à Pi, c'était quoi ?

Bin je pense que l'énoncé exige que cette intégrale soi calculer par la méthode des résidu d’après mama8687 et qui est bien orienter par breukin !

Cordialement

[joel_5632]

C'est amusant, breukin avait déjà travaillé sur cette intégrale en 2009, mais avec la méthode dite "traditionnelle"
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2315210

[topmath]

Bonjour à tous :

Y'a une chose que je n'est pas compris est une singularisée simple "pole d'ordre 1" pour quoi on l'a pas pris en considération pour le calcule des résidus (pour le calcule d'intégrale par l méthode des résidus ) ,en ce dernier pour la fonction ?

Cordialement

[breukin]

Parce que c'est un faux pôle, la fonction est holomorphe au voisinage de 1 et y vaut 1.

[topmath]

Bonjour à tous :

Parce que c'est un faux pôle, la fonction est holomorphe au voisinage de 1 et y vaut 1.

De toute façon merci breukin pour cette repense que je dois vérifier , le malheur c'est que d’habitude lorsqu'on utilise la méthode des résidus pour le calcule des intégrale sur un contour défini pour les fonctions holomorphe on commence par l'étude de la convergence de celle ci , ce qui n'est pas le cas dans ce sujet de discussion !!

Cordialement