Différentielle d'une fonction

[Isis-mirka]

Bonsoir à tous,
je suis en train de faire un exo dans lequel il faut trouver la différentielle d'une fonction .
c'est la première fois que je le fais, et j'ai du mal à y parvenir.

voici l'exercice:
donner la différentielle de f en a, df_a dans le cas:
f(x,y)=(x²+3y²,3y) pour (x,y) appartenant à R² , et a=(a₁,a₂) appartenant à R².
on a donc unr focntion de R² dans R²
je sais que dans le cas Rⁿ dans R, on a df =d_rondf/d_rondx*dx+ d_rondf/d_rondy*dy+....
mais ici, je n'arrive pas à trouver la méthode de résolution. rien dans mon cours ne me dit comment commencer.

Quelqu'un aurait-il une idée ?

Merci d'avance
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[GrisBleu]

Bonjour
Pour te convaincre de ce qu'il faut faire, tu peux voir f comme 2 fonctions de R² dans R où tu sais appliquer la méthode.
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[Médiat]

Bonjour,

df =d_rondf/d_rondx*dx+ d_rondf/d_rondy*dy+....

Ce serait plus facile à lire sous la forme :

[Isis-mirka]

oui, c'est vrai plus clair ainsi , mais j'ai un peu de mal pour le coder.
considérons donc g(x,y)=x²+3y² et h(x,y)=3y
dg en a =2a₁dx + 6a₂dy et dh=3dy ( pourriez-vous me le confirmer ?)

du coup, on aurait df en a = (dg(a),dh(a)))= (2a₁dx + 6a₂dy,3ydy)

est-ce correct ?

merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

Sinon, la différentielle d'une application f de R^n dans R^m au point a étant une application linéaire de R^n dans R^m, on peut lui associer une matrice

Cette matrice est appelée matrice jacobienne de f : http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_jacobienne

La différentielle de f est alors l'application linéaire associée à cette matrice dans la base canonique

[Isis-mirka]

Oui cette matrice jacobienne est dans la suite du cours. Cette partie n'a pas encore été étudiée en cours. Je ne suis donc pas censé l'utiliser ici.

mon calcul est-il correct ? parceque je n'ai aucune certitude: je ne maîtrise encore ce chapitre, je le découvre petit à petit.

merci d'avance

[GrisBleu]

A premiere vue, c'est correcte
++

[Tryss]

Sinon, la méthode classique quand on ne connait que la définition d'une différentielle, c'est de calculer



Ou L(u,v) est la différentielle

Donc pour










Donc ici la différentielle est df = (2x.dx +6y.dy, 3.dx)

[Isis-mirka]

ok.
je vais garder vos méthodes qui sont très utiles.

merci à tous ,
bonne journée.