fonction différentiable

[Isis-mirka]

Bonjour,
Je suis en train de faire un exo sur lequel je me pose quelques question.
le voici :
soit g(x,y,z)=(xsh(2y)z,exp(3z)*2^( x)) une focntion de R³ dans R².
je cherche l'ensemble sur lequel g est différentiable

Je sais que pour que g soit différentiable, il faut que ses composantes le soit toutes.

or, une dit qu'une fonction g de R³ dans R² est différentiable en a quand il existe une application linéaire L de R³ dans R² telle que g(a+h) = g(a) +L(h)+ h e(h) avec e(h) tendant vers 0 pour h tendant vers 0.

mais je n'arrive pas , à partir de la définition, à déterminer l'ensemble sur lequel g est différentiable.

Comment procéder ?


Merci d'avance
Bonne journée à tous
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[VirGuke]

Salut,

Est-ce que tu as essayé d'écrire g(a+h) dans ton cas ?

[Isis-mirka]

je ne suis pas sur de moi :
posons a=(a1,a2,a3)
alors g(a1+h,a2+h,a3+h)=((a1+h)*ch(2 (a2+h)),exp(3(a3+h))*2^(a1+h)= g(a1,a2,a3)+ L(h)+ he(h)
et g(a1,a2,a3)+ L(h)+ he(h)=((a1)*ch(2(a2)),exp(3(a3 ))*2^(a1)

je ne garanti absolument pas...

[VirGuke]

je ne garanti absolument pas...

En effet

Tu es sûr d'avoir compris le principe des différentielles ?

Le but c'est de calculer g(x+dx,y+dy,z+dz) = [ (x+dx) * ch( 2* (y+dy) ) *(z + dz) , exp( 3* (z+dz) ) * 2^(x+dx) ]

Développe ch( 2*(y+dy) ) et les autres à l'ordre un avec un développement limité déjà.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Isis-mirka]

je ne suis pas très a l'aise avec ce genre des choses, je le reconnais (meme les DL).
je sais a peu pres utiliser les DL , mais en 0 (avec le formulaire).
ici , dans le ch, on a certes dy petit mais il y a aussi du y, qui lui n'est pas au voisinage de 0 ,si ?

merci d'avance

[VirGuke]

Ah ben non, il est pas petit!

Mais ça te dis quelque chose : f(x+dx) = f(x) + dx*f'(x) + 0(dx^2) ?

[Isis-mirka]

ah , oui , j'appelle cela la formule de taylor et j'appelle un Dl les développements que l'on trouve dans les formulaires.
on aurait alors pour f(y+dy)=ch( 2*(y+dy) )=ch(2y)+dy*f'(y)+e(dy) ? (avec f(y)=ch(2y), et f'(y)=2sh(2y))

[VirGuke]

Oui plus qu'à faire ça avec le reste.

[Isis-mirka]

voila ce que j'ai trouvé :
g(x+dx,y+dy,z+dz) = [ (x+dx) * ch( 2* (y+dy) ) *(z + dz) , exp( 3* (z+dz) ) * 2^(x+dx) ]
g(x+dx,y+dy,z+dz) = [ (x+dx) * (ch(2y)+dy*2sh(2y)+e(dy) )*(z + dz) , ( exp(3*z)+dz*3exp(3z)+e(z) ) * 2^(x+dx) ] en réinjectant.
si cela est correct, que dois-je faire maintenant avec cette expression ?

[Tryss]

voila ce que j'ai trouvé :
g(x+dx,y+dy,z+dz) = [ (x+dx) * ch( 2* (y+dy) ) *(z + dz) , exp( 3* (z+dz) ) * 2^(x+dx) ]
g(x+dx,y+dy,z+dz) = [ (x+dx) * (ch(2y)+dy*2sh(2y)+e(dy) )*(z + dz) , ( exp(3*z)+dz*3exp(3z)+e(z) ) * 2^(x+dx) ] en réinjectant.
si cela est correct, que dois-je faire maintenant avec cette expression ?

Developper, puis séparer les termes linéaires des termes non linéaires

[Isis-mirka]

voila ou j'en suis (je ne sais pas trop comment regrouper):
g(x+dx,y+dy,z+dz) =

[ xzch(2y) + 2xzsh(2y)dz +zch(2y)dx + 4sh(2y)dxdydz +xch(2y)dz +2xsh(2y)dydz +ch(2y)dxdz + e(dy) ,
exp(3z)*2^(x+dx) + 2^(x+dx)*(3exp(3z)) +e(z) ]

que me conseilleriez-vous ?

[Tryss]

Ici tu as :
- la partie constante : xzch(2y)
- la partie linéaire : 2xzsh(2y)dz +zch(2y)dx + xch(2y)dz
- la partie non linéaire : 4sh(2y)dxdydz +2xsh(2y)dydz +ch(2y)dxdz + e(dy)

[Isis-mirka]

admettons que l'on regroupe comme vous le suggérez, je ne vois où vous voulez en venir ..
quelles informations cela m'apporte-t-il ?

merci d'avance

[Tryss]

On a alors que

Avec :





et



Reste à montrer que tend bien vers 0 quand (dx,dy,dz) tend vers 0

[Isis-mirka]

ok, on se ramène en fait à la définition .
Du coup, f est différentiable pour tout (x,y,z) de R3 car la relation est valable pour tout (x,y,z) de R3 ?

merci de votre aide !

[Isis-mirka]

Qu'en dites-vous ?

J'ai aussi sur cet exo à écrire la jacobienne de f en a=(1,0,1)
j'ai trouvé:
une matrice 2 lignes, 3 colonnes
1ère ligne: 1 0 1
2ème : 2exp(3)*ln(2) 0 6*exp(3)

pourriez vous me confimer ce résultat, car je doute de certaines dérivés partielles

je vous remercie d'avance