Bonsoir à tous,
Dans une démonstration prouvant pourquoi la transformée de Fourier d'un peigne de Dirac est aussi un peigne de Dirac, on écrit :
avecle peigne de Dirac considéré.
J'avoue ne pas comprendre la deuxième égalité où apparait le facteur 1/T.
Merci de m'éclaircir ce point,
Bien à vous.
la formule que tu as écris est fausse, le dernier membre est 1/T Sum delta (nu - k/T)
ensuite ce que tu vois n'est pas une démonstration, mais un mélange de calcul symbolique et de conventions, utilisées par les ingénieurs.
----------------------- Préliminaires, qui sont supposés etre dans ton cours -----------------------
en effet, pour x(t) est un signal périodique de période T. Tu sais que sa décomposition spectrale est selon une SERIE de Fourier.
cad que x à un spectre DISCRET.
Tu sais alors que le signal s'ecrit grace à la convention sommatoire de poisson:
x(t) = SUM CF(x, n) exp(2ipi nu n/T) (1)
ici, CF(x,n), sont les coefficients de fourier de x, ie 1/T int_[0,T] x exp(-2ipi nu t) dt.
cette formule est à rapprocher de la formule d'inversion de fourrier pour un signal reel s, non périodique, de L^2, qui est:
s(t)= INT TF(s)(nu) exp(2ipi nu t ) d nu (2)
on note alors que la formule (1) ressemble à la formule (2), en considérant que les fréquences nu ou le spectre de x n'est pas nul sont des fréquences multiples de 1/T.
du coup on écrit symboliquement le spectre CONTINU de x (signal périodique), ie TF(x)(nu) sous une forme de somme de diracs:
TF(x)(nu) = SUM CF(x, n) delta(nu- k/T). (3)
------------------------------------------------
appliquons ceci à notre peigne de dirac, de manière formelle. En effet le peigne de dirac DELTA_T(t)= SUM delta(t- kT), est périodique de période T. La formule (3) donne alors:
TF(DELTA_T)(nu)= SUM CF(DELTA_T, n) delta(nu- k/T)
or
CF(DELTA_T, n) = 1/T int_[0,T] DELTA_T(t) exp(-2ipi nu t) dt.
= 1/T int_[0,T] SUM delta(t- kT) exp(-2ipi nu t) dt
je permute formellement:
= 1/T SUM int_[0,T] delta(t- kT) exp(-2ipi nu t) dt
par un changement de variable:
= 1/T SUM int_[kT,(k+1)T] delta(t) exp(-2ipi nu t) dt
= 1/T int_[-infini,+infini] delta(t) exp(-2ipi nu t) dt
maintenant, j'utilise la formule symbolique sommatoire des dirac:
= 1/T exp(-2ipi nu 0)
= 1/T
conclusion: TF(DELTA_T)(nu) = 1/T SUM delta(nu-k/T)
ceci s’écrit TF(DELTA_T)(nu) = 1/T DELTA_{1/T}(nu) <--------------- ceci est la seconde formule symbolique de dirac.
En clair, tu as appris ici, que manipuler des diracs en tant qu'ingénieur nécessite des précautions. Donc, réfère toi systématiquement aux formules symboliques admises (formule sommatoire symbolique et formule des transformées des peignes) pour déduire le reste.
il y a des petites erreurs entre k ,et n,
par exemple dans la formule (3) c est
TF(x)(nu) = SUM CF(x, n) delta(nu- n/T), la somme est sur n.
pareil apres dans le calcul de
CF(DELTA_T, n) = ....
il n'y a pas de nu, c'est un n.
CF(DELTA_T, n) = 1/T int_[0,T] DELTA_T(t) exp(-2ipi n t) dt.
sinon le reste est correct.
Dernière modification par untruc ; 22/10/2014 à 01h36.
Merci untruc d'avoir pris le temps de rédiger tout ça.
J'ai une question lors du calcul du coefficient de Fourier CF(DELTA_T,n. Dans le changement de variable que tu fais, est ce qu'il n'y a pas un exp(2ipi nkT) qui apparait ? Moi je trouve :
Pour faire disparaitre exp(2ipi nkT), faut faire l'hypothèse que T est un entier, non ?
argh, oups, la formule d'un coefficient de fourrier pour le signal periodique de période T est:
CF(x, n) = 1/T int_[0,T] x exp(-2ipi n t/T) dt.
ce qui donne pour DELTA_T
CF(DELTA_T, n) = 1/T int_[0,T] DELTA_T(t) exp(-2ipi n t/T) dt.
à partir de là, c'est bon, le changement de variable t-> t-kT ne pose pas de problème . Donc il n'y a pas d'hypothèse particulière sur T.
