Question de "formalisme" sur une EDO.

[Lucien-O.]

Bonsoir à tous,

J'ai aujourd'hui eu un débat stérile et long sur une étape de la résolution d'une EDO et je n'ai absolument pas compris ce qui gênait mon interlocuteur dans le "formalisme" qui, disait-t-il, était très mauvais...

On se retrouvait à un moment avec cette situation classique :

Ce que j'exprime : avant d'intégrer les deux membres de l'égalité par rapport à y et de me retrouver avec ln(x(y))=y...Y a-t-il quelque chose de "non formel" dans ces quelques lignes?

En soi il n'y a aucun problème mais j'avoue que cette remarque m'a perturbé...
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[untruc]

1- pourquoi ta fonction est positive pour que tu écrives ln(x(t))?

2- conceptuellement, en mathématiques: on définit exp(t) comme étant la solution à cette équation avec CI u(t=o)=1.
techniquement tu n'as rien à écrire, c'est automatiquement de la forme a exp(t)

3- si tu fais de la physique, ce qui compte pour toi de retrouver le résultat. Donc c'est tordu, mais ca te donne le bon résultat, et tu peux le vérifier. Donc continue et va à l'essentiel.

[Curuxa]

Salut, merci bcp pour votre réponse!

1) effectivement, il y a un hic mais on me disait qu'il était d'avantage formel de considérer : de sorte que l'on se retrouvait avec avant d'intégrer ce qui repose le problème de la positivité puisque là primitive sera ln(x(y))... Je ne vois pas la nuance entre cette méthode et la mienne niveau formalisme.

2) Quant à ce point 2 je dois préciser qu'il y avait d'autres facteurs que j'ai ici abandonnés car ils ne faisaient pas partie du débat qui s'est déporté sur cette situation simplifiée

3) Bin je fais des maths donc justement j'aimerais apprendre à être formel car je manque de rigueur...

A priori je pense qu'il ne s'agit que d'un détail mais c'est très dérangeant de ne pas comprendre où le bas blesse (ceci dit l'argument de la fonction positive me satisfait le plus mais dans ce cas la méthode alternative ne change rien...).

[gg0]

Bonjour.

En pratique, le problème de la positivité ne se pose pas si on se rappelle que les primitives de 1/x s'écrivent ln(x)+C si x>0 et ln(-x)+C si x<0. On prendra donc d(ln(|x(y)|)).

Maintenant, si tu veux être rigoureux (plutôt que formel, qui souvent veut dire "non rigoureux"), il te faudra prouver que si x(y) s'annule, alors la seule solution est x(y)=0. Puis examiner les solutions qui ne s'annulent pas (donc sont de signe constant puisque x est continue). On voit ça dans les cours de bon niveau sur les équations différentielles.
Une méthode plus simple est de remarquer que 0 est solution, puis d'examiner une solution qui est non nulle pour un y donné. Elle est alors non nulle sur un intervalle ouvert contenant cette valeur (continuité de x), ce qui permet de la rechercher par ta méthode, puis de déterminer le plus grand intervalle qui convient (on trouve R tout entier).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[untruc]

c'est mignon, mais "exp est la fonction solution de y'=y, y(0)=1" est du programme de 1ere.
Alors que Cauchy-Lipshitz sort du point fixe, et nécessite savoir ce qu'est un espace normé complet.

[gg0]

"du programme de 1ere" ?
Dans quel pays ? Avec quelle preuve ?

En France, c'était à une époque la définition de l'exponentielle, avec un énorme admis (qu'il y a bien une solution unique).

Cordialement.

[untruc]

bonne remarque. Ce qui signifie que c'est ln qui est construit.

Parce qu'à partir du moment ou tu as définit l'intégration, et que tu as verifié comment fonctionne la primitive. Tu peut définir "ln" comme étant la fonction telle que sa dérivée est "1/x" et "ln(1)=0", grace à la formule "ln(x)= \int_0^x 1/t dt"

L'inverse ln^{-1} sera alors nommé exp, du coup elle est dérivable, et par formule de derivée des composées tu sors que exp est solution de l'equation différentielle.

cdt

[lucas.gautheron]

Bonjour,

"du programme de 1ere" ?
Dans quel pays ? Avec quelle preuve ?

En France, c'était à une époque la définition de l'exponentielle, avec un énorme admis (qu'il y a bien une solution unique).

Cordialement.

Au lycée, je me souviens que l'exponentielle avait été définie comme ça (unique solution de f' = f avec f(0) = 1). Le prof nous avait montré comment "construire" cette solution (par une sorte de méthode d'euler), sans justifier rigoureusement que cette méthode convergeait bien vers une certaine fonction.
Par contre, l'unicité avait été démontrée si je me souviens bien.

En prépa, en revanche, on avait défini la fonction ln comme la primitive de s'annulant en 1, et l'exponentielle comme sa réciproque.
Il me semble que certains partent de sa forme série entière. Bref, l'argument "c'est une définition" me semble insuffisant ici.

A+

[untruc]

bein non. Il suffit juste d'etre cohérent.

si considère l'equation diff y'=y, y(0)=1.
la solution existe: cf on part de ln et on contruit une solution.

avant de démontrer l'unicité, regardons quelques propriétés. Si y est solution, qu'elle equation verifie y^2?
elle verifie f'=2f, avec f(0)=1.
Conclusion, y > 0 sur R+, et y est strictement croissante et > 1 sur R+. et qu'elle converge vers l'infini.

que vaut y(-t)y(t) = ?
une simple dérivation te dis que ceci est constant et vaut donc y(0)^2=1. Conclusiion:y(-t)= 1/y(t) (*)

revenons à l'unicité: supposons que y1 et y2 sont solutions de y'=y, y(0)=1.
alors (y1-y2) solution de y'=y, y(0)=0
donc (y1-y2)^2 solution de y'=2y et y(0)=0
or (y1-y2)^2>0. donc en tant que solution de y'=2y, sa derivée est positive, elle est croissante.
mais vaut 0 en 0. Du coup y1 et y2 coincident sur R-
mais je viens de démontrer que y1 et y2 vérifient (*), donc y1 et y2 coincident sur R.

Donc, la solution existe, et elle est unique. donc c'est une propriété caractéristique de la solution, et définit l’exponentielle.

Si l'académie considère, que pour ne pas décourager les gens, ils vont éviter de telles technicités, c'est leur problème. Mais toute cette démo est du niveau de 1ere.
tu peux maintenant partir de ca, et démontrer les autres propriétés de l'exp, sa décomposition en série etc etc.

[lucas.gautheron]

Je sais bien... mais si vous ne savez pas comment Lucien a défini l'exponentielle vous ne savez pas ce qu'il suffit de dire ou pas.
A+

[Lucien-O.]

Merci à tous pour votre enthousiasme et vos réflexions!

Je me convaincs finalement qu'il n'y a pas de sérieux manque de rigueur dans la méthode que j'utilisais. (évidemment si je n'étais pas dans un cas de variables séparables j'utiliserais la définition de l'expo.)

Merci à gg0 pour cette remarque quand à l'annulation de x(y), c'est effectivement quelque chose dont j'ai entendu parler même si je ne comprend pas bien l'unicité que vous évoquez...

Sinon pour ma part je me contente de définir l'exponentielle comme une bijection de R vers R+ qui a la particularité d'être sa propre dérivée et d'être la réciproque de log...Je ne vais pas plus loin : au mieux je peux prouver (en retournant dans mes notes...) que la seule primitive f de 1/x doit admettre une réciproque g dont la dérivée soit g.

A très bientôt et encore merci à vous tous.