Recherche, si elles existent, de la structure des équations résolvantes de Xn - pX + q = 0 (n > 1 ; n Є N)
(avec une méthode inédite de résolution de l’équation de degré 4, différente de celle de Ferrari)
Si racine double a Xn - nan-1X + (n-1)an = 0 (n-1)n-1pn - nnqn-1 = 0 (structure de Δn)
X2 - pX + q = 0
x2 - p2/2x + 1/4(22(q/1)1) = 0 X3 - pX + q = 0
X = u + v
u3 + v3 = - q ; uv = p/3
x2 + q2/2x + 1/4(22(p/3)3) = 0 X4 - pX + q = 0
(X2–SX+P)(X2-S’X+P’) = 0
P + P’ = Y* Y3 - 4qY - p2 = 0
x2 - p4/2x + 1/4(44(q/3)3) = 0 X5 - pX + q = 0
(p = 5r3)
Y4 - qY + 3r5 = 0
Z3 – 12r5Z + q2 = 0
x2 + q4/2x + 1/4(44(p/5)5) = 0
↑
Δ2 = p2 - 22(q/1)1 Δ3 = q2 - 22(p/3)3 Δ4 = p4 - 44(q/3)3 Δ5 = q4 - 44(p/5)5
k1 = (1 + (-1)n) / 2 ; k2 = (k1 =0); Δn = k1(pn - nn(q/(n-1))n-1) + k2(qn-1 - (n-1)n-1(p/n)n)
x2 – (k1pn/2 - k2q(n-1)/2)x +1/4(k1nn(q/(n-1))n-1 + k2(n-1)n-1(p/n)n) = 0
* (S+S’)(P+P’) = (SP’+S’P) + (SP+S’P’) = 0 (SP’+S’P)(SP+S’P’) = - p2 ; PP’((S+S’)2-2SS’) + SS’((P+P’)2-2PP’) + p2 = 0
F(X) = Xn – pX + q
F(X) = 0 peut consister à rechercher la ou les intersections de la courbe P(X) = Xn avec celle de la droite D(X) = pX – q ; donc, si dans le corps des complexes F(n) possède n racines, dans celui des réels elle a 0, 1 ou 2 solutions si n est pair et 1, 2 ou 3 si n est impair ce qui peut explique l’isomorphisme, au niveau du déterminant, entre l’équation générale de degré n et une de ses résolvantes du second degré.
En partant de ce déterminant, on peut trouver la structure d’une résolvante de degré 2 et en "remontant", par analogie avec les équations résolues, celle de la résolvante de degré n-1.
-----