Equation différentielle du 2nd ordre à coefficient non constant

[Ortiie]

Bonjour,
Voilà cela fait déjà plusieurs jours que je planche sur un problème de mathématique sans grand succès. L'intitulé est le suivant:

(E2): x²y"-xy'+y= 1-ln(x)
On fait un changement de variable: x=et et on pose y(x)=y(exp(t))=w(t).

On nous demande de determiner une équation différentielle (E4) vérifiée par W si et seulement si y verifie (E2).
Résoudre (E4) et en déduire les solutions de (E2)

Je suis donc partie du principe que cet exercice nécessitait d'utiliser le principe de superposition On a alors :
x²y"-xy'+y=1
<=> exp(2t)w"(t)-exp(t)w'(t)+w(t)=1
Et la solution évidente est w(t)=1

Seulement pour l'équation :
exp(2t)w"(t)-exp(t)w'(t)+w(t)=-ln(exp(t))= -t
Je n'arrive pas à la résoudre ...

Pouvais-vous m'aider s'il vous plait? J'en aurais vraiment besoin...
Merci d'avance.
-----

[indian58]

tu t'es planté en injectant w(t).

[Ortiie]

En effet...
Si on essaye de dériver W(t) on obtient l'équation suivante :
(E2): y"(exp(t))exp(4t) + y'(exp(t))exp(3t) - y(exp(t)) = -t

Mais je ne vois toujours pas comment résoudre cette équation ...

[indian58]

En effet...
Si on essaye de dériver W(t) on obtient l'équation suivante :
(E2): y"(exp(t))exp(4t) + y'(exp(t))exp(3t) - y(exp(t)) = -t

Mais je ne vois toujours pas comment résoudre cette équation ...

Tu t'es encore trompée...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ortiie]

Ok, c'est bon j'ai compris !
En faite j'essayer de ne pas toucher à W(t) alors qu'on peut l'écrire comme w(ln(x)) !
Et en remplacant dans la formule on trouve que w=-ln(x) -2.
Merci