Caractérisation de la continuité

[Vador1397]

Bonjour


J'ai dans mon cours la définition de la continuité suivante :
une fonction f est continue en un point a de son ensemble de définition si et seulement si f admet une limite finie en a, qui est alors nécessairement f(a)


pourtant si je prends par exemple la fonction f définie par :
f(x) = x pour x non nul
et f(0)=1

j'ai bien une fonction qui admet une limite finie en 0, mais cette limite n'est clairement pas f(0) et cette fonction n'est clairement pas continue en 0


je trouve la même définition sur wikipedia (http://fr.wikipedia.org/wiki/Continu...C3%A9matiques)) : "Ainsi ƒ est continue en a si et seulement si la limite de ƒ en a existe (elle vaut alors nécessairement ƒ(a))."



je suis vraiment très étonné, quelqu'un pourrait m'éclairer là-dessus svp ?


Merci d'avance et bonne soirée
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[lucas.gautheron]

Bonjour

J'ai dans mon cours la définition de la continuité suivante :
une fonction f est continue en un point a de son ensemble de définition si et seulement si f admet une limite finie en a, qui est alors nécessairement f(a)


pourtant si je prends par exemple la fonction f définie par :
f(x) = x pour x non nul
et f(0)=1

j'ai bien une fonction qui admet une limite finie en 0,

En êtes vous bien sur ?
"f définie sur IR tend vers a en 0 signifie" :
.

Donc en particulier, en appliquant ceci à x = 0 (qui vérifie toujours !) :

. Ce qui ne signifie rien d'autre que f(0) = a.

Et clairement pour votre fonction, ce n'est pas le cas.
si vous prenez par exemple vous ne trouverez aucun qui marche.

A+

[PA5CAL]

Bonsoir

D'une manière générale, Wikipédia n'est pas une référence fiable. On y trouve n'importe quoi écrit par n'importe qui, et souvent par des gens qui ne sont pas de bons pédagogues ni des spécialistes des questions qu'ils traitent. Les articles sont truffées d'imprécisions et d'explications confuses, propres à induire en erreur les lecteurs peu avertis. On en a ici un bon exemple.

Dans la cas présent, on ne peut pas dire que ce qui y est écrit soit faux (c'est une question d'interprétation), mais ceux qui viennent y chercher ce qu'ils ignorent risquent fort de tomber dans le panneau.

[Vador1397]

et ba, comme quoi on en apprend tous les jours ! merci beaucoup lucas.gautheron pour cette réponse claire et implacable !
donc ma fonction ne tend pas vers 0.....

autre question cependant, est-ce qu'on dira quand même que ma fonction f admet une limite en 0 (qui vaut alors 1) ou qu'elle n'en admet pas ?

mon prof de sup m'avait dit que dans la définition de la limite avec les quantificateurs (comme celle que vous avez écrite) on pouvait indifféremment remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges... pourtant ici il me semble que c'est ce qui fait toute la différence, car ici si on s'autorise à prendre eta = 0 on a bien |f(x)-a|<epsilon pour tout |x|<eta c'est-à-dire pour x=0
mais si on prend eta forcément non nul, en prenant epsilon assez petit il n'existe plus de eta tel que |f(x)-a|<epsilon pour tout |x|<eta.....

[A voir en vidéo sur Futura]

[PA5CAL]

En êtes vous bien sur ?
"f définie sur IR tend vers a en 0 signifie" :
.

Donc en particulier, en appliquant ceci à x = 0 (qui vérifie toujours !) :

. Ce qui ne signifie rien d'autre que f(0) = a.

Et clairement pour votre fonction, ce n'est pas le cas.
si vous prenez par exemple vous ne trouverez aucun qui marche.

A+

Cette définition de la limite, qui est celle qu'on donne classiquement dans l'enseignement secondaire, interdit l'existence d'une limite en un point lorsque la fonction est à la fois définie et non continue en ce point, tout en l'autorisant quand la fonction n'y est pas définie. Cela paraît plutôt tordu, et c'est pourquoi dans l'enseignement supérieur, on utilise souvent une autre définition qui n'impose pas cette restriction :

la fonction f admet une limite l en a lorsque x tend vers a si :
∀ε>0, ∃η>0, ∀x∈E (x≠a et |x−a|<η) ⇒ |f(x)−l|<ε

(pour ceux qui veulent nommer la distinction, on peut parler de limite « épointée »)

Il existe donc deux points de vue. Mais cela ne pose pas de problème tant qu'on sait de quoi on parle et qu'on reste cohérent.

L'explication littéraire de Wikipedia concernant la continuité part donc du premier principe... sans toutefois la préciser, ce qui lui fait perdre de sa consistance : on dit finalement que la fonction peut être continue si elle a une limite, en prédisposant qu'elle n'a pas de limite si elle n'est pas continue ... conceptuellement parlant, on se mord un peu la queue dans l'énoncé de la définition en français !

Fort heureusement cela ne change pas la formulation mathématique, qui met tout le monde d'accord :

la fonction f est continue en a si :
∀ε>0, ∃η>0, ∀x∈E (|x−a|<η) ⇒ |f(x)−f(a)|<ε

Ainsi, on reste compatible avec les deux points de vue, puisqu'on ne fait pas explicitement référence au cas où l'on peut éventuellement se refuser de parler d'existence de la limite de f en a.

[Vador1397]

ok merci beaucoup PA5CAL tout est complètement clair maintenant

[Vador1397]

et au sujet de mon prof de maths qui disait qu'on pouvait remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges dans la définition de la limite, j'ai réfléchi et je pense qu'il ne parlait que des deux dernières inégalités (|x-x0|<eta et |f(x)-l|<epsilon) mais pas de l'inégalité eta>0 car si on s'autorise à prendre eta nul on pourra toujours dire qu'une fonction définie en un point admet une limite en ce point même si elle fait n'importe quoi autour (par exemple f(x)=sin(1/x) pour x non nul et f(0)=0 admettrait alors une limite en 0 ce qui serait idiot....)

[lucas.gautheron]

Bonjour,

Cette définition de la limite, qui est celle qu'on donne classiquement dans l'enseignement secondaire, interdit l'existence d'une limite en un point lorsque la fonction est à la fois définie et non continue en ce point, tout en l'autorisant quand la fonction n'y est pas définie. Cela paraît plutôt tordu, et c'est pourquoi dans l'enseignement supérieur, on utilise souvent une autre définition qui n'impose pas cette restriction :

la fonction f admet une limite l en a lorsque x tend vers a si :
∀ε>0, ∃η>0, ∀x∈E (x≠a et |x−a|<η) ⇒ |f(x)−l|<ε

(pour ceux qui veulent nommer la distinction, on peut parler de limite « épointée »)

Il existe donc deux points de vue. Mais cela ne pose pas de problème tant qu'on sait de quoi on parle et qu'on reste cohérent.

L'explication littéraire de Wikipedia concernant la continuité part donc du premier principe... sans toutefois la préciser, ce qui lui fait perdre de sa consistance : on dit finalement que la fonction peut être continue si elle a une limite, en prédisposant qu'elle n'a pas de limite si elle n'est pas continue ... conceptuellement parlant, on se mord un peu la queue dans l'énoncé de la définition en français !

Fort heureusement cela ne change pas la formulation mathématique, qui met tout le monde d'accord :

la fonction f est continue en a si :
∀ε>0, ∃η>0, ∀x∈E (|x−a|<η) ⇒ |f(x)−f(a)|<ε

Ainsi, on reste compatible avec les deux points de vue, puisqu'on ne fait pas explicitement référence au cas où l'on peut éventuellement se refuser de parler d'existence de la limite de f en a.

Même dans le supérieur la caractérisation par limite m'a été présentée ainsi :
f continue en a <=>

A+

[PA5CAL]

Même dans le supérieur la caractérisation par limite m'a été présentée ainsi :
f continue en a <=>

Certes. Mais cette façon de présenter les choses ne précise pas si l'on s'autorise à parler de limite en un point dans le cas où la fonction n'est pas continue en ce point. Or, c'est la question cruciale sur laquelle repose la compréhension de la remarque dans l'article de Wikipedia, et la raison du présent sujet.

Dans tous les cas on caractérise la continuité en a par « lim_x→af(x) = f(a) », mais :
- dans le secondaire on apprend que lim_x→af(x) n'existe pas lorsque f n'est pas continue en a : une fonction est donnée non continue pour cause d'abandon dans l'évaluation de l'expression, celle-ci n'ayant pas de sens ;
- dans le supérieur, d'un certain point de vue lim_x→af(x) peut tout de même exister dans ce même cas de figure : une fonction peut ne pas être continue pour cause d'inégalité dans l'expression.

C'est bien plus une question de vocabulaire que de mathématiques. Concernant la continuité, cela ne change pas le concept, mais la façon de dire les choses.

[PA5CAL]

(En toute rigueur, j'aurais dû écrire comme toi la double égalité, avec la limite à droite et la limite à gauche, pour parler du second point de vue. Mais je n'ai pas eu le temps de modifier mon précédent message).

[Vador1397]

et tant que je suis et que j'ai affaire à des gens compétents, une autre question qui n'a rien à voir :

on dit que [0,1[ est ni fermé ni ouvert, et en effet si on prend son complémentaire dans R qui est ]-inf,0[U[1,+inf[ lui non plus n'est ni ouvert ni fermé

par contre si je décide que je travaille que dans R+, son complémentaire est [1,+inf[ qui lui est un fermé donc [0,1[ est un ouvert... ça veut dire que la nature d'un ensemble dépend de l'espace dans lequel on travaille (ici, soit R soit R+) ?

[Médiat]

ça veut dire que la nature d'un ensemble dépend de l'espace dans lequel on travaille (ici, soit R soit R+) ?

Oui, car une topologie c'est juste une famille de sous-ensembles (avec certaines propriétés) en changeant la famille, on change ce que vous appelez la nature (qui n'est pas "la nature d'un sous-ensemble", mais "la nature d'un sous-ensemble, pour telle topologie")

[Vador1397]

ok ok merci !!

[Vador1397]

encore une autre question (dsl :-p)


quand on définit un produit scalaire sur un K-espace vectoriel, ai-je raison de dire que ça signifie que ce produit scalaire est à valeurs dans K ?

c'est à dire, si on est dans un R-espace vectoriel, tout produit scalaire que l'on définit dessus sera forcément dans R
et si on est dans un C-espace vectoriel, tout produit scalaire que l'on définit dessus sera forcément dans C ?


Merci beaucoup

[lucas.gautheron]

Bonjour,

Pour moi, c'est bon.

A+

[gg0]

Attention,

pour un C-espace vectoriel, il s'agira d'un produit scalaire hermitien, ou produit hermitien. Avec une définition différente.

Cordialement.

[Vador1397]

ok ok, merci beaucoup tout le monde

[Victor.S]

si xn converge vers 0 dans l'ensemble de définition f(xn)->l ssi l est la limite en 0.
Du coup ici la fonction aurait à la fois 1 et 0 comme limite, selon qu'on prenne xn=0 ou xn=1/n.