Dérivée des polynômes de Legendre

[ujuj]

Bonjour! Je ne parviens pas à dériver n fois (x²-1)^n afin de trouver une formule simplifiée de cette expression pour éventuellement trouver ses racines. Quelle méthode faut-il utiliser? Récurrence, binôme de Newton ou autre...? Quelqu'un pourrait-il m'aider?

[GuYem]

Je pense q"une récurrence fait l'affaire.
Précédée d'une bonne part d'intuition of course.

Quand tu dérives une fois (x²-1)^n, il tombe un n devant et un 2x aussi et la puissance de x²-1 diminue d'un cran. Tu obtiens



Si tu le dérives encore il tombe n-1, un autre 2x, et la puissance diminue encore.

De là à intuiter que la dérivée nième est

il n'y a qu'un pas. Il n'y a plus de x²-1 car il est à la puissance 0 après n dérivation

En espérant ne pas dire de bétises.

[Rincevent]

En espérant ne pas dire de bétises.

j'ai pas lu ton explication en détails, mais je crois que si

car les racines des polynômes de Legendre ne sont pas toutes nulles... la récurrence, certes, mais un changement de variable me semble un bon complément...

[edit]tu as oublié la dérivée de (2x)...

[ujuj]

Certes mais toi tu ne dérives pas 2nx (n-1) fois ce qui fait que tu n'as que (x²-1)^n-1 à dériver. Je pense plutôt que c'est toute ton expression que tu dois dériver. Peut-être me trompe-je...

[matthias]

De là à intuiter que la dérivée nième est

il n'y a qu'un pas.

Peut-être un pas de trop
Pour n=2, ça a déjà pas l'air de marcher très fort.

[rvz]

Au fait, que veut faire ujuj exactement ?

Il y a marqué dans son message : pour trouver les racines. Pas besoin de dériver n fois pour trouver les racines. D'ailleurs, moi, je ne sais dériver que 2n fois
Sinon, le binôme de Newton donne évidemment une solution, parce que dériver un polynôme, c'est quand même facile, c'est juste pas forcément très sympathique à écrire c'est tout.

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rvz

[ujuj]

oui j'aurais dû le préciser mais j'ai besoin également de trouver l'ordre de multiplicité des racines de cette expression. Donc je dois vérifier que 1 et -1 n'annulent pas la dérivée nième

[GuYem]

Eh oui c'est les vacances, je fatigue.

En effet je suis allé trop vite et la dérivation des 2x qui arrivent m'est passé au dessus de la tête. Du coup c'est un peu plus compliqué !

[rvz]

oui j'aurais dû le préciser mais j'ai besoin également de trouver l'ordre de multiplicité des racines de cette expression. Donc je dois vérifier que 1 et -1 n'annulent pas la dérivée nième

Enfin, il me semble que c'est facile :


Du coup, la dérivée n-ième en 1 vaut et en -1 vaut (Sous la forme que j'ai écrite, la formule de Leibniz d'ordre n te donne directement que le seul terme qui compte est celui où tu as dérivé n fois du même coté, tous les autres étant nuls.
En plus, tu as clairement que -1 et 1 sont de multiplicité au moins n, et la somme des multiplicités doit être égale au degré, ici 2n. Donc la multiplicité est bien n.

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rvz