questions diverses MATRICES

[bapdemon]

Salut ! J'ai quelques questions concernant les matrices, si vous pouviez m'éclairer ça serait super !

1) Est-ce qu'on a l'implication : rang(A)=1 => det(A)=0 ??

2) Comment expliquer que det(A)=0 <=> 0 est une valeur propre de A ??

3) Je note Xt la transposée de X. Si X et Y sont des matrices n,1 ; comme je sais que XtY et XYt ont les mêmes valeurs propres (car XYt a les mêmes que YtX qui a les mêmes que sa transposée, soit XtY), comment se fait-il que XYt ait comme valeur propre 0 alors que XtY ne contient qu'un scalaire qui peut être non nul ??

Je ne sais pas si je suis clair, si vous ne comprenez pas demandez moi ^^"

Merci d'avance !!

Mathématiquement votre,

Baptiste.
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[gg0]

Bonjour.

1) Tout dépend de la matrice. Mais s'il s'agit d'une matrice carrée de dimension au moins 2, le fait qu'elle soit de rang 1 dit qu'elle n'est pas inversible.
2) Plusieurs méthodes. regarde l'application linéaire associée dans la base canonique de R^n.
3) Tu sembles appliquer à des matrices non carrées des propriétés des matrices carrées ("car XYt a les mêmes que YtX ...).

Cordialement.

[bapdemon]

Tout d'abord merci pour les réponses !

Concernant la 3), je sais que AB et BA ont les mêmes valeurs propres lorsque A et B sont carrées. Mais est-ce qu'il est possible d'étendre cela à toutes les matrices ?

[gg0]

Regarde de plus près ce qui se passe pour les matrices dont tu parlais. prends simplement n=2 pour voir, et des valeurs pour X et Y et regarde ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[bapdemon]

Ca semble marcher mais je ne vois pas comment théoriser tout cela :s

[gg0]

Je ne sais pas ce qui "semble marcher", mais si A et B sont l'une une matrice (1,n), l'autre une matrice (n,1), alors AB existe et est une matrice (1,1) et BA existe aussi, mais est une matrice (n,n). Comment pourraient-elles avoir "les mêmes valeurs propres" ????

Bon, si tu t'expliques clairement, je saurai de quoi tu voulais parler ...