Espaces Vectoriels [Exo]

[Alexinsa18]

D'accord médiat. Donc du coup j'ai montré que Vect(1,cos^2) est inclus dans Fc et dans Fs, donc dans leur intersection.
Je dois montrer l'autre inclusion pour pouvoir conclure qu'il y a égalité..
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[gg0]

Non, c'est ça. Et donc il faut justifier que l'ensemble des combinaisons linéaires de 1 et de cos^2 est contenu dans vec(1,cos, cos^2) qui est ... donc c'est une évidence (*) et dans vec(1,sin,sin^2) qui est ...
Et maintenant, tu dois pouvoir rédiger ça correctement.
Puis attaquer la réciproque.

Cordialement.

(*) dit autrement, les fonctions engendrées par les fonctions 1 et cos² sont bien évidemment engendrées par 1, cos², .. et cos.

[Alexinsa18]

Qui est l'ensemble des combinaisons linéaires de 1, cos et cos^2 ! Je comprends pour l'évidence.
Et l'ensemble des combinaisons linéaires de 1 et cos^2 est contenu dans vect(1,sin,sin^2) qui est l'ensemble des combinaisons linéaires de 1, sin, et sin^2 (puisque cos^2=1-sin^2).

Ensuite pour la réciproque, j'essaie de voir comment partir..

[Alexinsa18]

Alors : f est contenu dans Fc donc il s'écrit comme combinaison linéaire de 1, cos et cos^2
f= a*1+b*cos+c*cos^2.
Et f est contenu dans Fs donc il s'écrit comme combinaison linéaire de 1, sin et sin^2.
f=d*1+e*sin+f*sin^2 = d*1+e*sin+f*(1-cos^2). ?

[Alexinsa18]

Je viens de me rendre compte d'un truc, dîtes-moi si j'ai bon ou pas...

Vect(1,0) c'est pas du tout pareil que Vect((1,0)), non ?
Le premier ça donnera un plan et l'autre une droite ?

[gg0]

Message #34. Ok. Il reste à voir pourquoi b=e=0. Soit en sachant que (1,sin,cos,cos^2) est une famille libre, soit en prenant des valeurs pour x et en calculant f(x).

Message #35 : car 1 et 0 sont des réels, et les combinaisons linaires de 1 et 0 s'écrivent a.1+b.0 = a, donc donnent n'importe quel réel. Rien à voir avec vec((1,0) qui est la droite vectorielle {(a,0)/ a réel}.

La notation vec(F) où F est une suite de vecteurs n'a de sens que si les éléments de F sont dans un même espace vectoriel. D'ailleurs, ton énoncé précise bien qu'on est dans , l'espace vectoriel (avec les opérations canoniques) des fonctions réelles définies sur tout . C'était un renseignement fondamental !

Cordialement.

[Alexinsa18]

Merci pour tes explications.
Je vais essayer la réciproque avec ces méthodes.

Merci à tous, bonne soirée.

[PlaneteF]

Message #35 : car 1 et 0 sont des réels, et les combinaisons linaires de 1 et 0 s'écrivent a.1+b.0 = a, donc donnent n'importe quel réel.

Bonjour gg0,

J'ai bien compris dans quel sens tu écrivais cela, ...

... mais pour rester dans le cadre de l'énoncé de cet exercice et ne pas embrouiller Alexinsa18, ici on se situe dans et comme le précise l'énoncé est la fonction constante égale à ... et l'on peut raisonnablement supposer que, conformément aux notations classiques, ici est la fonction nulle.

En conséquence, ici on a plutôt : est l'ensemble des fonctions constantes.


Cordialement

[PlaneteF]

... et je poursuis mon message précédent, conformément à ce que j'indiquais en message#14, ici n'a pas de sens (les vecteurs ici sont des fonctions, pas des couples de fonctions).

Cdt

[PlaneteF]

... mais pour rester dans le cadre de l'énoncé de cet exercice et ne pas embrouiller Alexinsa18,

Je devrais d'ailleurs plutôt dire "... pour recadrer les idées d'Alexinsa18".

Je précise ainsi que mes messages #38 et #39 vont bien dans le même sens que le message #36 de gg0, ... c'est-à-dire rappeler le cadre de tout cela.

Cdt

[gg0]

PlaneteF,

tu risques de l'embrouiller. Il parlait de droite et de plans, donc plutôt avec l'idée de l'espace vectoriel des couples. Il n'était pas dans le cadre fonctions, mais sans doute dans la lecture de son cours de classe prépa.

Cordialement.

[PlaneteF]

Il parlait de droite et de plans, (...)

gg0, oui tu as raison. Et c'est bien pour cela qu'il aurait été bienvenu de la part d'Alexinsa18, quand on change comme ça de cadre en plein milieu d'une discussion, d'être explicite et de préciser que l'on se place dans tel autre espace vectoriel, afin d'éviter tout malentendu possible de part et d'autre.

Cdt