Espaces Vectoriels [Exo]

[Alexinsa18]

Bonjour, j'essaie de faire quelques exercices basiques sur les espaces vectoriels à la maison, mais je rencontre un problème sur l'un d'eux (en fait, c'est juste que je vois pas les méthodes à appliquer juste pour démarrer...) :

" On considère les s.e.v de F(R,R) :

Fc:=Vect(1,cos,cos²)
Fs:=Vect (1,sin,sin²)

où 1 désigne la fonction constante égale à 1.

Montrer que Fc inter Fs = Vec(1,cos²)."

Voilà, j'ai juste mis le début de l'exercice (après y'a le même genre de raisonnement à effectuer mais avec d'autres s.e.v), j'aimerais juste comprendre comment faire, une méthode...

Merci d'avance, bonne soirée !
-----

[mondrook]

Je n'ai pas essayé mais je prendrais un vecteur qui appartient à la fois à FS et à Fc et qui s'écrit donc de deux manières. En utilisant les propriétés de trigo et les conditions j'essaierais de l'écrire comme une combinaison linéaire de ta fonction constante et de cos^2

[PlaneteF]

Bonsoir,

En complément du message de mondrook qui précède :

En utilisant 2 valeurs bien choisies à appliquer, la réponse est immédiate.

A noter qu'il faut aussi démontrer la réciproque.


Cordialement

[Alexinsa18]

Ok merci, mais ça reste flou pour moi... je comprends pas ce que vous voulez dire par valeurs bien choisies, et surtout, une fois j'ai un vecteurs appartenant à Fs et Fc, je l'écris comme combinaison linéaire de 1 et cos² ok, mais j'arrive pas à comprendre pourquoi juste cet exemple qui fonctionne montre que c'est vrai... J'avoue avoir du mal pour l'instant avec ce genre de choses...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

As-tu vu pourquoi est contenu dans ? je le suppose, car c'est assez évident. Donc il reste à montrer que est contenu dans
Pour cela, tu prends un vecteur (quelconque, pas un exemple)qui est dans cette intersection, donc il est dans donc il s'écrit ... et il est aussi dans , donc il s'écrit ...
D'où une égalité dont tu déduiras qu'il s'écrit bien comme combinaison linéaire de 1 et cos².

Bon travail !

[PlaneteF]

(...) je comprends pas ce que vous voulez dire par valeurs bien choisies (...)

Lorsque tu vas exprimer qu'une fonction quelconque appartient à et , tu vas obtenir une égalité de fonctions. Cela voudra dire que , tu pourras "appliquer" cette égalité à . Et c'est à partir de là que tu pourras choisir deux valeurs de bien choisies de sorte à montrer que la composante en est toujours nulle.

Cdt

[PlaneteF]

(...) tu pourras "appliquer" cette égalité à (...)

Je voulais plutôt dire : "(...) tu pourras "appliquer" à cette égalité (...)"

Cdt

[mondrook]

Hm Alexinsa18 es tu certain d'avoir bien compris la notion de "vect" (sev engendré)? Peut-être as-tu besoin plutôt de précisions à ce propos car si tu le comprends bien, commencer l'exercice ne pose pas de problème.
N'hésites pas.

[Alexinsa18]

Je suis vraiment désolé d'avoir mis autant de temps à répondre, j'avais autre chose en tête... Milles excuses !

Merci pour toutes vos réponses, j'essaie de le refaire à présent mais j'ai encore des problèmes.
Vect(S) c'est le sous-espace vectoriel engendré par la famille S si je comprends bien.
Mais j'arrive vraiment pas à démarrer, montrer que (1, cos^2) est inclus dans l'intersection des deux..

[Médiat]

Bonjour,

Pouvez-vous exprimer 1 (resp. cos^2) comme combinaison linéaire de (1, cos, cos^2) [C'est évident, non ?]
Pouvez-vous exprimer 1 (resp. cos^2) comme combinaison linéaire de (1, sin, sin^2) [C'est pas bien compliqué, non plus]

[gg0]

Bonjour.

Tant que tu ne mets pas les mains dans le cambouis, ça n'avance pas !

Tu as la définition de Fc. Que sont les éléments de Fc ? soit f un élément de Fc, comment s'écrit-il ? Les fonctions 1 et cos² peuvent-elles être écrites ainsi ?

A toi de bosser, tu as eu de l'aide, j'en redonne encore, mais on ne rédige pas des corrigés. Règlement du forum.

[Alexinsa18]

Bonjour ! Tout d'abord, merci à vous d'avoir répondu aussi vite.
Gg0, je sais que c'est le règlement du forum et je trouve cela très bien, c'est juste que je comprenais pas du tout comment faire.
Du coup en relisant vos deux messages (Gg0 et Mediat) :

- f un élément de Fc : f est une combinaison linéaire de Fc ? càd f= (a*1, b*cos, c*cos^2)..
(1, cos^2) est inclus dans Fc : avec a=1, b=0, c=1.

Et pour Fs : (1,cos^2) est inclus dans Fs avec a=1, b=0, et en troisième coordonnée on utilise le fait que sin^2(x)=1-cos^2(x).

Si ce n'est pas faux, j'ai montré que (1, cos^2) est inclus dans l'intersection de Fs et Fc. Il reste donc à montrer que l'intersection de Fs et Fc est inclus dans Vect(1,cos^2).
Je dois prendre un vecteur quelconque appartenant à cette intersection... Et là ça devient vague... Je dois avoir une égalité de fonction ?

Donc (1,cos(a),cos^2(a))=(1,sin(a), sin^2(a)) ?

[Médiat]

- f un élément de Fc : f est une combinaison linéaire de Fc ? càd f= (a*1, b*cos, c*cos^2).

Non, vous avez deux façons de faire :

1) Montrer que 1 est une combinaison linéaire(*) de (1, cos, cos^2), puis montrer que cos^2 est une combinaison linéaire de (1, cos, cos^2)
ou
2) Montrer qu'une combinaison linéaire de (1, cos^2) est une combinaison linéaire de (1, cos, cos^2)

Puis même chose avec (1, sin, sin^2)


(*) une combinaison linéaire de (1, cos, cos^2), c'est f = a*1 + b*cos + c*cos^2, pas ce que vous avez écrit.

[PlaneteF]

Bonjour,

- f un élément de Fc : f est une combinaison linéaire de Fc ? càd f= (a*1, b*cos, c*cos^2)..
(1, cos^2) est inclus dans Fc : avec a=1, b=0, c=1.

Et pour Fs : (1,cos^2) est inclus dans Fs avec a=1, b=0, et en troisième coordonnée on utilise le fait que sin^2(x)=1-cos^2(x).

Si ce n'est pas faux, j'ai montré que (1, cos^2) est inclus dans l'intersection de Fs et Fc. Il reste donc à montrer que l'intersection de Fs et Fc est inclus dans Vect(1,cos^2).
Je dois prendre un vecteur quelconque appartenant à cette intersection... Et là ça devient vague... Je dois avoir une égalité de fonction ?

Donc (1,cos(a),cos^2(a))=(1,sin(a), sin^2(a)) ?

Attention à la terminologie et aux notations employées, ... beaucoup de choses dans ce que tu écris sont imprécises voire fausses, ... En vrac :

* Attention à ne pas confondre "famille de vecteurs" et "sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs". Lorsque l'on parle de combinaison linéaire, c'est d'une famille de vecteurs. Ainsi tu ne peux pas écrire que est une combinaison linéaire de (sic) qui lui est un ssev.

* Une combinaison linéaire de 3 vecteurs n'est pas un triplet ou une famille de vecteurs comme tu l'écris, mais c'est un vecteur tout court.

* Un ev est constitué de vecteurs, ... mais pas de n-uplets ou de familles de vecteurs.

* Une fonction peut être effectivement définie comme un triplet (ensemble de départ, ensemble d'arrivée, graphe), ... mais cela n'a aucun rapport avec ce que tu as écrit.


Cordialement

[gg0]

Je dois prendre un vecteur quelconque appartenant à cette intersection... Et là ça devient vague... Je dois avoir une égalité de fonction ?

Ben .... ici les vecteurs (éléments de l'espace vectoriel) sont des fonctions. Donc si tu as besoin d'une égalité de vecteurs, ce sera une égalité de fonctions ...

Donc considère un élément f de . Comme il est dans Fc, il s'écrit f= ... Comme il est dans Fs, il s'écrit f= ...
Il ne reste plus qu'à comparer puis conclure.

A toi ...

[Alexinsa18]

Ok d'accord. J'essaie de corriger :

1 est une combinaison linéaire de (1,cos,cos^2) : 1= 1*1+0*cos+0*cos^2).
cos^2 est une combinaison linéaire de (1,cos,cos^2) : cos^2 = 0*1 + 0*cos + 1*cos^2.

Donc du coup (1, cos^2) est une combinaison linéaire de (1,cos, cos^2) ... f=a*1+0*cos+1*cos^2.

Et 1 est une combinaison linéaire de (1,sin,sin^2) : 1=1*1 +0*sin+0*sin^2.
cos^2 est une combinaison linéaire de (1,sin,sin^2) : cos^2 =1*1+0*cos-1*sin^2.
Donc du coup (1,cos^2) est une combinaison linéaire de (1,sin,sin^2) ...: (1*1,1*1-1*sin^2) ?

Donc Vect(1,cos^2) est inclus dans Fc inter Fs.

Je pense que c'est bon là, non ? (merci pour vos explications).

Maintenant la réciproque...

Je considère f élément de l'intersection.
Donc il s'écrit f= a*1 +0*cos+1*cos^2.
Et il s'écrit aussi f= a*1 +0*sin + b*1-c*sin^2 ?

Pour Fs je suis pas sûr de ce que j'avance... Ensuite je dois écrire l'égalité entre les deux manières d'écrire f et conclure ?

[gg0]

Non !

Là tu copies ce que tu faisais avant. Comme un coureur de triathlon qui fait les mouvements du crawl sur son vélo !

f est dans Fc, donc f = ... par définition de Fc. On ne sait rien de plus de f que son appartenance à Fc.

[Médiat]

1 est une combinaison linéaire de (1,cos,cos^2) : 1= 1*1+0*cos+0*cos^2).

Oui

cos^2 est une combinaison linéaire de (1,cos,cos^2) : cos^2 = 0*1 + 0*cos + 1*cos^2.

Oui

Donc du coup (1, cos^2) est une combinaison linéaire de (1,cos, cos^2) ... f=a*1+0*cos+1*cos^2.

Non !

Et 1 est une combinaison linéaire de (1,sin,sin^2) : 1=1*1 +0*sin+0*sin^2.

Oui

cos^2 est une combinaison linéaire de (1,sin,sin^2) : cos^2 =1*1+0*cos-1*sin^2.

Oui

Donc du coup (1,cos^2) est une combinaison linéaire de (1,sin,sin^2) ...: (1*1,1*1-1*sin^2) ?

Non !

[Alexinsa18]

...
Pour le premier non : c'est le fait que j'ai mis "a" qui gêne (je voulais mettre 1) ou c'est quand même pas ça ? ...

Pour le deuxième non : j'ai aussi mis un cos mais c'est une erreur de recopiage...
Du coup je dois faire quoi... Je dois mettre f= la somme des deux combinaisons linéaires écrites ?

f= 1*1 +0*sin +0*sin^2 +1*1 +0*sin -1*sin^2 ?

[Médiat]

Quand vous écrivez 1= 1*1+0*cos+0*cos^2, on connaît ce qu'il y a à gauche de "=" et ce qu'il y a à droite, donc on peut dire si c'est juste ou non.

Quand vous écrivez f=a*1+0*cos+1*cos^2, on ne connaît pas ce "f", donc on ne peut pas dire si c'est juste ou non.

(1, cos^2) est une combinaison linéaire de (1,cos, cos^2)

Ne veut rien dire.

[gg0]

Effectivement,

J'ai survolé le début. C'est toujours la confusion entre vecteur, suite de vecteurs, sev associé, et un vocabulaire mal fixé. Voila je préfère "1 est une combinaison linéaire de 1, cos et cos^2", l'expression "1 est une combinaison linéaire de (1,cos,cos^2)" ne voulant pas dire grand chose, puisqu'on a un seul élément de proposé. Combiner un seul élément ... bof !. Ou alors on dira "1 est une combinaison linéaire des composantes de (1,cos,cos^2)".

On sent un désir de "dire vite". Mais en maths (et d'autres disciplines aussi), dire vite, c'est dire faux. Et je crains aussi une vraie méconnaissance du cours de base, facile à rectifier en apprenant.

Cordialement.

[Alexinsa18]

J'avais pas vu ton message gg0.
Le "Non" s'applique à quoi ?
Mais je vois pas alors... f est dans Fc donc f=... Non... je pensais avoir compris mais là du coup si c'est pas du tout ce que je pensais...

[Alexinsa18]

Mais le cours de base je l'ai fiché et je l'apprends mais c'est un manque d'exercice qui me gêne.
Je suis perdu alors, j'ai rien compris à propos de cet exercice. f c'est un vecteur quelconque de Fc et de Fs ?? ...
Je vois plus comment avancer ...

[Médiat]

Reprenez mon message #10, et vous verrez que démontrer que 1, puis cos² sont des combinaisons linéaire de (1, cos, cos²) (*) est suffisant, l'alternative est de montrer en une fois (et non 2) que a*1 + b*cos² = combinaison linéaire de (1, cos, cos²).




(*) C'est à dire la famille de vecteurs 1, cos et cos²

[gg0]

Le "Non" s'applique à quoi ?
Mais je vois pas alors... f est dans Fc donc f=... Non... je pensais avoir compris mais là du coup si c'est pas du tout ce que je pensais...

Le non s'applique bien à la fin de ton message, et à f= ...
C'est simplement la définition du sev engendré qu'il y a à appliquer, puisque Fc n'est rien d'autre qu'un sev engendré.

Avoir le cours sur fiches ne suffit pas : Iol faut aussi le connaître, savoir les définitions, le vocabulaire, ... D'ailleurs les fiches ne servent pas quand on n'a pas compris le cours avec ses exemples. Donc au lieu de garder tes fiches, relis le cours lui-même, bien plus explicite. Ou un autre cours (bouquin de L1/prépa, par exemple, ou cours sur Internet). Tu en as vraiment besoin, on ne peut pas t'aider plus sauf à faire un corrigé que tu ne comprendras pas faute des connaissances de base (*).

Cordialement.

(*) mais qui te ferait sans doute plaisir, tu croirais comprendre parce que c'est écrit, mais tu ne saurais pas quelles définitions, quels théorèmes sont employés.

[Alexinsa18]

D'accord Médiat, mais ça je l'ai fait non ?

Et j'aimerais comprendre l'alternative que tu proposes...
Ah d'accord, le f que je voulais dire c'est :a*1+b*cos^2

a*1+b*cos^2 = a*1+0*cos+b*cos^2 ? Je comprends pas trop là... C'est pas ça que je dois faire non ?

Hum... a*1+b*cos^2= (a+b)*1+0*sin-b*sin^2 ?

[Alexinsa18]

gg0, je suis en train de lire un cours de prépa là.

[gg0]

Tu avances. Mais il reste à traiter la question. Au fait, vec(1, cos²) = ??
Et il serait bien d'avoir une rédaction complète.

[Médiat]

a*1+b*cos^2 = a*1+0*cos+b*cos^2 ? Je comprends pas trop là... C'est pas ça que je dois faire non ?

C'est bien cela, vous avez montré que toutes combinaison linéaires de (1, cos²) est une combinaison linéaire de (1, cos, cos²)

Hum... a*1+b*cos^2= (a+b)*1+0*sin-b*sin^2 ?

C'est bien cela, vous avez montré que toutes combinaison linéaires de (1, cos²) est une combinaison linéaire de (1, sin, sin²)

[Alexinsa18]

Vect (1,cos^2) = l'ensemble des combinaisons linéaires de (1,cos^2).
Donc l'ensemble des combinaisons linéaires de 1 et de cos^2 ? Ou je m'égare ?