Ker f est un fermé

[hanlover]

Bonsoir,
svp je veux savoir si ma réponse à cette question est correcte.
Soit (E,||.||) un espace vectoriel normé et soit f une forme linéaire non nulle.
montrer que f est continue ssi ker f est un fermé de E.

Pour le premier sens ok. Comme f est continue et kerf =f-1({0}) alors Ker f est un fermé
Pour le deuxième sens, on suppose que Ker f est un fermé . Soit (xn) une suite de kerf qui converge vers x appartenant à Ker f. on a ainsi f(xn)=0=f(x) donc d'après la caractérisation séquentielle de la continuité f est continue. Est-ce juste?
Merci
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[Tryss]

Tu as montré que f est continue sur Ker(f), pas sur E tout entier. Il faut partir d'un x quelconque et d'une suite xn quelconque qui tend vers x

[gg0]

Bonjour.

La caractérisation séquentielle ne concerne que ker f ?

[hanlover]

merci mais je pense avoir utilisé la définition d'un fermé. Ker f fermé ssi pour toute suite (xn) de ker f qui converge vers x on a x appartient à ker f , non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Même pas, puisque tu as pris tes xn dans ker f et que tu as imposé qu'ils convergent vers x appartenant à ker f. Même s'il est non fermé, ce que tu as dit est correct (f est constante nulle sur ker f donc ...)

Cordialement.

[hanlover]

Ah oui d'accord merci. En fait, j'ai trouvé la correction
Si kerf fermé et f<>0 alors il existe e appartenant à E tel que f(e)<>0. On pose d= d(e,kerf)>0 et enfin on aboutit à |f(x)|<= (|f(e)|/d) ||x|| d'où f est continue. Je ne vois pas comment il a conclu que f est continue?

[Tryss]

Une application linéaire est continue si et seulement si l'image de la boule unité est bornée.