Structure algébrique usuelle : Groupe de permutation

[YuuX]

Bonsoir tout le monde, j'ai une kholle des maths pas plus tard que demain avec un professeur très pointilleux quand il s'agit du cours. C'est pour cela que je tenais à ce que vous puissiez m'aider à comprendre la chose suivante :

Dans mon chapitre structure algébrique usuelle (MPSI), dans la rubrique "Groupe symétrique" on évoque les groupes de permutations d'un ensemble, la définition et le théorème sont les suivants :

Définition : une permutation d'un ensemble E est une bijection de E dans E. L'ensemble des permutations de E est noté Se.

Théorème : Si E est un ensemble, alors Se des permutations de E est une groupe pour la composition des applications. C'est le groupe symétrique de G.

Mon problème est que je n'arrive pas à comprendre et à voir l'intérêt de ce théorème. Qu'est-ce qu'ils veulent dire par Se est un groupe pour la composition des applications ? En quoi c'est le groupe symétrique de G ?

Merci d'avance en tout cas pour vos réponses

Cordialement, yuux
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[YuuX]

NB : petite erreure de ma part : "C'est le groupe le groupe symétrique de E" et non G

[Médiat]

Qu'est-ce qu'ils veulent dire par Se est un groupe pour la composition des applications ?

Que Se muni de la composition des applications (une bijection est bien une application) est un groupe

En quoi c'est le groupe symétrique de E ?

Ca, c'est une définition

[Seirios]

Bonsoir,

Dire que est le groupe symétrique de est une définition : c'est le nom du groupe. Ensuite, si l'on note la composition de fonctions, alors dire que un groupe une fois muni de la composition de fonctions veut simplement dire que est un groupe, cf. définition du cours.

[A voir en vidéo sur Futura]

[YuuX]

D'accord merci bien !!
J'ai une dernière question (je l'espère .. J'en suis désolé), à propos des permutations reliées aux cycles :

Soit £ une permutation, lorsque l'on veut calculer £^(p), il est dit que je dois utiliser la décomposition en cycle de £, puis suite a cela utiliser la commutativité des cycles de telle sorte que :

£^p = (c1^p)o(c2^p)o...o(cr^p)

Suite a cela il faut faire la division euclidienne et c'est la que je bloque de p par l(ci) et ainsi on devrait trouver un reste ki donc (ci^p) = (ci^Ki)

Ensuite on calcule chaque ci^ki puis on les regroupe pour avoir £^p

On a par exemple :
£^1000 =( (2,7,4,5) o (3,10) o (6,9,8) )^1000

Que doit on faire pour obtenir : £^1000 = (6,9,8)

Merci d'avance et encore désolé pour la syntaxe qui doit juste être horrible ..

[Seirios]

Soit une permutation. Alors elle peut s'écrire comme un produit de cycles à supports deux à deux disjoints : ; en particulier, les commutent deux à deux. Par conséquent, . Maintenant, si l'on note l'ordre de , on peut faire la division euclidienne de par , c'est-à-dire écrire avec . Alors , puisque . Finalement, on obtient .

En pratique, tout ce que tu as à faire, c'est trouver la décomposition de et calculer l'ordre des .

[YuuX]

D'accord je te remercie !
Je pense que ce n'est pas à mon programme de kholle étant donné que je doute que l'on ai vu l'ordre d'un cycle !
Merci beaucoup de vos réponses !
On croise les doigts pour demain

[Seirios]

L'ordre d'un cycle , c'est juste le plus petit entier non nul vérifiant . Il n'est pas difficule de vérifier qu'il s'agit précisément de la longueur de .

[YuuX]

La longue de (2,7,4,5) est 4 alors ?
et donc dans notre exemple il est vrai que le reste de la division euclidienne de 1000 par 4 est 250 et comment on peut conclure que (2,7,4,5)^1000 = id ?

[Seirios]

et donc dans notre exemple il est vrai que le reste de la division euclidienne de 1000 par 4 est 250

Non, il te faut revoir la définition de division euclidienne.

[YuuX]

Effectivement ! J'ai compris merci bien !