Fonction deux fois différentiable

[petillant10]

Bonjour,

J'ai un devoir maison à faire pendant ces vacances, cependant, je bloque sur un exercice.
Je ne sais pas du tout comment faire, j'ai essayé par diverses méthodes mais rien à faire,je n'arrive pas à parvenir au résultat, à vrai dire je ne vois pas ce que cela pourrait être.
Pouvez-vous m'aider svp

Voilà l'intitulé :

Existe-t-il une fonction Ψ : R² → R deux fois différentiable (avec des dérivées secondes continues) telle que ∂Ψ/∂x = (2x²y + 1)e^x²y+ y et ∂/∂y = x³e^x²y+ x ? Si oui, calculez Ψ, sinon justifiez qu'elle n'existe pas.

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Tu n'as pas un théorème dans ton cours sur les fonctions deux fois continument différentiables ? Il te permettra de conclure.

Cordialement.

[chris-034]

Le principe, c'est de primitiver par rapport à une première variable en additionnant une fonction de l'autre variable, fonction qui fera office de constante de cette première primitivation. Ensuite, tu dérives par rapport à la seconde variable, ce qui te permet par identification de déterminer la dérivée de la fonction ''constante'' et ensuite de primitiver cette dernière pour compléter l'expression de la fonction du départ; il faut se dire qu cette fonction ''constante'' ne contient pas l'autre variable.

En primitivant par rapport à Y, on obtient : Ψ(X,Y) = XY + Xe^YX² + f(X) .
En dérivant cette expression par rapport à X, on a : ∂Ψ/∂X = (2YX² + 1)e^YX²+ Y + ∂f/∂X .
Par identification, on trouve que : ∂f/∂X = 0 ; f est donc une constante que l'on peut représenter par la valeur en X=0.
Il vient donc :

Ψ(X,Y) = XY + Xe^YX² + k avec k un scalaire

[gg0]

Chris-034,

au début, il est seulement demandé l'existence. Le calcul des dérivées secondes croisées est le premier calcul à faire.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[chris-034]

J'ai dû mal comprendre, il était demandé de la calculer si elle existait. Quant à la continuité des dérivées secondes, cela me semblait si évident que j'ai manqué d'en faire la remarque.

On a ce qui ressemble à un mélange de polynôme et d' exponentielle dans le cas des deux dérivées partielles, ce qui me laisse penser qu'elles, et la fonction, sont C par rapport à chacune des variables.

[Dicolevrai]

Salut,
gg0 fait référence au théorème de Schawrz

[gg0]

Effectivement,

et Pétillant10 (qui n'a pas donné de ses nouvelles, pas même un merci à celui qui lui a fait l'exercice) l'a très probablement dans son cours.
C'est rapide de dériver, et au moins, si la réponse est non, on ne se lance pas dans des intégrations parfois délicates.

Cordialement.