Calcul intégral

[manon22lr]

Bonjour,

Je rencontre des difficultés à calculer une intégrale qui demande un changement de variable.
Il s'agit de: Capture.PNG
J'ai testé les règles de Bioche et aucune des trois ne fonctionnait j'ai donc posé t= tan(x/2).

J'ai ensuite changé les bornes cela donne 0 et tan(pi/8). L'élément différentiel en (2/(1+t²))*dt.
et ensuite j'ai obtenu une fonction intégrable en argth et une fonction rationnelle que j'ai avec difficulté décomposée en éléments simples. C'est à ce moment que je ne suis pas sûre de moi car j'ai trouvé des coefficients comme 136/21, 247/21... après j'ai pu intégrer mais je n'ai pas trouvé le résultat attendu (calculé grâce à geogebra) qui est de 0.61
Voici ce que j'ai fait IMG_20141224_160721.jpg IMG_20141224_160742.jpg
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider svp ?
Merci d'avance,

Manon22lr
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[gg0]

Bonsoir.

Par le changement de variable t=tan(x/2), on obtient une fraction rationnelle qui se décompose bien avec des dénominateurs de la forme (t-a)^p.
Tu perds du temps en mettant de côté la première fraction, j'ai bien l'impression que c'est là que tu as planté le calcul. Sans décomposer, les facteurs sont nettement plus simples

Cordialement.

[topmath]

Bonjour:

Sachant que remplacez et calculez votre intégrale , le reste est facile .

Cordialement

[manon22lr]

Bonjour,
gg0, j'ai essayé ta méthode sauf que je me retrouve à décomposer une fraction rationnelle avec un numérateur et un dénominateur de même degré...
topmath, en utilisant ta méthode je n'arrive pas à calculer l'intégrale car je me retrouve avec (1-tan²(x))/cos(x)) et je ne vois pas comment calculer cela .

Cordialement,
manon22lr

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

bjr, je crois que topmath n'a pas vu qu'il y avait un cos^3(x) au dénominateur.
ou en arrives tu avec la méthode proposée par gg0 ?
cordialement.

[ansset]

pour mémo:
si t est tg(x/2)
alors
sin(x)=2t/(1+t²)
cos(x)=(1-t²)/(1+t²)
et pour de dx arctan'(t)=1/(1+t²)
mais attention le dx fait intervenir un 2, tout comme tu as un sin(2x) au numérateur.

[manon22lr]

Bonjour,

ansset, j'arrive à sauf que je ne peux pas le décomposer puisque le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur. Et j'ai bien fait toutes les transformations qui découlent du changement de variable.

Cordialement,

[ansset]

pardon , j'ai écrit par erreur sin(2x) au lieu de cos(2x) ( la boulette est une grande amie )

[ansset]

bon , j'attend ta pièce jointe.
cdt.

[manon22lr]

La première partie est dans mon premier message et ensuite j'ai mis mes deux fractions au même dénominateur comme me l'a suggéré gg0 cela donne

[manon22lr]

:s j'ai trouvé ma magistrale boulette ! Je ne sais plus réduire au même dénominateur... J'ai trouvé une fraction que je peux décomposer

[gg0]

On attend la validation de tes pièces jointes par un administrateur.

OK. Je viens de voir ton message, je modifie le mien.
En fait, on trouve une expression assez proche de celle que tu as traitée dans ton premier calcul.

Cordialement.

[QueNenni]

Pour calculer la primitive de tan² (x) il faut poser t = tan (x) et donc dt = (1 + tan² x) dx,.... la suite est facile!

[gg0]

A noter : développer le dénominateur est une opération inutile. Autant penser factorisation est une bonne idée, autant on ne développe que quand c'est utile pour avancer. ici, en plus, tu as besoin d'une factorisation du dénominateur !!!

[manon22lr]

Bonjour,

merci à tous pour votre aide, j'ai finalement pu trouver le résultat escompté !

Cordialement,