Congruence

[Freestyle1005]

Déterminer le chiffres des unités, des dizaines et des centaines de 2014^2014 ?

Je sais que 2014^2014=2014^2000 + 2014^14
Mais après je bloque pour résoudre ce problème avec les congruences !!
Merci d'avance de votre aide.
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[Médiat]

Bonjour,

Merci de respecter la charte (la courtoisie, entre autres) ainsi que les règles : http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html.

Médiat.

[Freestyle1005]

Excuser moi je ne connaissait pas le fonctionnement du site , merci de vos explications.

[gg0]

Je sais que 2014^2014=2014^2000 + 2014^14

Dommage de savoir ça parce que c'est faux !

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Freestyle1005]

Oui pardon c'est 2014^2014=2014^2000 x 2014^14 mais après je n'ai aucune idée.
Cordialement.

[gg0]

Bonjour.

Tu peux travailler modulo 1000.

Cordialement.

[Freestyle1005]

D accord donc 2014=14[1000] mais je ne voit pas ou tu veux en venir .
Cordialement .

[Freestyle1005]

Bonsoir,j'ai réussi à trouver que 2014^2014=4[10] donc le chiffre des unités est 4 mais je n arrive pas avec mod (1000)
Merci de m 'aider .
Cordialement .

[sylvainc2]

4 n'est pas la bonne réponse.

On doit calculer 14^2014 [1000]. On peut utiliser la fonction indicatrice d'Euler (fonction phi(n)) pour réduire l'exposant:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Indica...27Euler#Calcul

1000=(2³) * (5³) donc phi(1000) = 1000(1/2)(1/5)=400. Or, 2014=5*400+14 donc:

14²⁰¹⁴ =14^5*400+14 = (14⁴⁰⁰)⁵*14¹⁴ = 1⁵*14¹⁴ = 14¹⁴ [1000].

Il ne reste plus qu'à utiliser une calculatrice pour calculer 14¹⁴ [1000].

[Freestyle1005]

Bonjour , merci de votre réponse par contre je ne comprend pas pourquoi vous utilisez 14^2014,ce n'est pas plutôt 2014^14 a utilisé?
Cordialement.

[PlaneteF]

Bonjour,

(...) je ne comprend pas pourquoi vous utilisez 14^2014,ce n'est pas plutôt 2014^14 a utilisé?

Tu as écrit toi-même ceci :

D accord donc 2014=14[1000] (...)

Donc en élevant à la puissance , il vient bien :


Cordialement

[Freestyle1005]

Ah oui , merci de votre réponse mais je ne parviens pas a calculer 14^14[1000].
J'ai utilisé 14^14[1000]=14^10[1000]x14^4[1000] mais je n'aboutit à aucun résultat.

[gg0]

La plupart des calculettes te donnent 14^7 en valeur exacte, donc tu peux trouver 14^7[1000] facilement.

[Freestyle1005]

Bu ai fait 14^7= 105413504
Par la division euclidienne 105413504 = 105413 x1000 +504
Donc 14^7=504 [1000]

[Freestyle1005]

Puis j'ai fait 14^14=14^7[1000]x14^7[1000]=504[1000] x504[1000]=254016[1000].
Je pense donc que 2014^2014 se termine par 016.
Merci de me dire si vous êtes d'accord avec moi.
Cordialement.

[Freestyle1005]

Bonjour , pardonner moi mais ma réponse est elle juste ?
Merci d'avance.
Cordialement.

[gg0]

14^2014 = 200384375751925161000646201167 688594791598279521882310035261 759050\
955985338218272883469685494890 572865976044245790280632551512 30\
942940008324105467179137838693 074593547012668431790774127105 60\
973357005514672489802681819712 320805106288819914557815707764 02\
866666266619971449071890838102 504387205046819880909220854238 65\
129178280333055147607122357930 036386780386876574961290040614 43\
222295856314694431133361113844 649026203572534702268688696088 79\
348410639489756194402551940683 968760258757016401726662380193 47\
452460045150988101876867955727 699652673393576491661370154924 37\
532968606422127126357114964649 682606383070149897734261394876 22\
146168702113324288967408919484 638452554984002884988371757313 64\
372865471018615523113907159580 726787089119389570305676275594 29\
932209957044977936568816459600 278022084431414637758357940058 90\
878655679672710730957034535436 025743715378500829422543970925 16\
464366920837694548850262461168 031556794875995705945037958946 41\
978072272161291586272570487527 582621021914480787685752663745 55\
309252020910643766818081389782 667978179321957180258744178136 21\
386037178221468975292345977398 903984893138354395331930289650 08\
177482498105996830967679253889 373922475708809250428153877761 32\
616354229787138363091652156219 432428903911314493736994530157 82\
733584510031959773831853619466 465310454403226195047532769476 87\
704554323494238267309267730442 501619348980565784421771610215 49\
937605029827759266537864130212 750037762939327891794997703639 65\
412583487131915354814053030459 455312160544108083579085466236 01\
231202498658121528790850943953 959974309464621440296081419410 96\
349989149107959255687422545499 161238041235067866755776066536 64\
578925589867516515319640348651 230834998041878799386115598690 58\
622350396855642724030856445453 407884678314655026034901231954 99\
129422258134069393861534621536 059173142619931754559877815016 31\
167221493108451007989415359996 324310365687927327224478126691 25\
103258706249998612336144676023 179209029850673489865112925346 48\
050043487478532654672131148634 225033305897397883799269536301 14\
011512152349033619303274628692 008762542658101800348200262698 50\
562485977679215091886648521436 874265847145953520806149271919 12\
689094352683592945177162127699 919310602674820360829609122625 77\
217590111868105550653827223357 072026396972380726869199107203 01\
872502013661928091228635017088 118421869111463869206656250056 86\
42555478016

Cordialement.

[Freestyle1005]

Merci beaucoup gg0 de ton aide et ton logiciel de calcul à l air très puissant mais pourquoi les chiffres avant 016 sont ils différent ?
Cordialement.

[gg0]

Différents de quoi ?

[Freestyle1005]

Les derniers chiffres ne sont pas censé être : 254016 c est ce que j avais obtenu en mettant au carré le reste de la division euclidienne que j ai effectué avant .

[gg0]

Oui, mais tu ne parlais pas des chiffres de 14^2014

[Freestyle1005]

Ah oui mais les chiffres 254016 sont les dernière du nombre 2014 ^2014 ,c est exact ?

[gg0]

Non, 2014^2014 termine par 510016.

Tu devrais relire ce qui a été fait (par toi) en n'oubliant pas le [1000] !!!

[Freestyle1005]

J ai tout repris depuis le départ :
2014=14[1000]
2014^2014=14^2014[1000]
14^2014=14^5x400x14=(14^400)^5 x 14^14=1^5 x14^14[1000] =14^14[1000]
14^14[1000]=14^7[1000] x14^7[1000]=504[1000] x 504 [1000] =254016[1000]
Je ne voit donc pas mon erreur.
Cordialement .

[gg0]

Ben ... comme tu travailles modulo 1000, les décimales des milliers, dix milliers, ... sont changées.

Si on travaille modulo 1000
2014^2014=14^2014 [1000] ce qui veut seulement dire que le reste de la division par 1000 est le même. J'espère que tu vois la rapport avec les trois derniers chiffres.

[gg0]

Autre façon de voir :
=254016[1000] = 15487016 [1000]
Pourtant les 5 derniers chiffres ne sont pas 87016.

[Freestyle1005]

Merci de ton explication je pensais autres chiffres ensuite n'était pas changé ,j ai bien compris maintenant !!
Cordialement .

[sylvainc2]

J'apporte une correction à mon message précédent. J'avais suggéré d'utiliser l'indicatrice d'Euler pour réduire l'exposant de 14^2014 [1000], mais en fait ca ne marche pas puisqu'il faudrait que 14 et 1000 soit premiers entre eux, ce qui n'est pas le cas. Il est évident que 14^400 ne peut pas être congru à 1 modulo 1000, à cause du facteur 2 dans 14. Il se trouve que 14^2014 et 14^14 ont les mêmes 3 derniers chiffres (016) mais c'est juste une coincidence.

Donc pour faire le calcul il faut utiliser une autre méthode, par exemple les élévations au carré successives.

[Freestyle1005]

Bonjour , pouvez vous m expliquer une autre méthode alors , je n'y arrive pas !!
Cordialement.

[gg0]

" par exemple les élévations au carré successives. " (sylvainc2)