Racine d’un polynôme de K[X] dans End(K^n).

**FAN FAN** · 26/12/2014, 11h56

Bonjour,
Voici le problème que je me pose:

De la même manière qu’un polynôme P de K[X] de d°p a p racines dans K (si clos), je pose la question du nombre de racines de P dans End(Kⁿ), plus précisément:

Soit K un corps (clos pour simplifier) et K[X] l’ensemble des polynômes sur K.
Soit End (Kⁿ), l’anneau des endomorphismes de l’espace vectoriel Kⁿ.

On a la notion bien connue de polynômes annulateurs d’un endomorphisme donné f de Kⁿ, à savoir l’ensemble de ces polynômes est l’idéal engendré par le polynôme minimal de f.

Je pose la question inverse:
Je me donne maintenant un polynôme P de K[X] de d°p.
Quels sont les endomorphismes de Kⁿ annulés par ce polynôme P ?
Sont-ils en nombre finis ?
Si oui, on doit pouvoir calculer leur nombre qui doit être fonction de n, du d° p et des coefficients de P.
Peut-on expliciter ces endomorphismes ?

Voici un exemple très simple:
Je me donne le polynôme X²-1. Les endomorphismes qui l’annulent (racines de X²-1 dans Kⁿ) sont au nombre de trois:
f₁ =-Id; f₂ =Id; f₃ =symétrie par rapport à Ker(f₃-Id) parallèlement à Ker(f₃+Id).
Dans ce cas particulier leur nombre ne dépend pas de la dimension n. Est-ce toujours le cas ?

Y-a-t-il une méthode générale pour trouver le nombre de tels endomorphismes ou faut-il étudier chaque cas particulier ?

Je m’excuse d’avance si cette question n’était pas pertinente.
Bonne année à tous.

**minushabens** · 26/12/2014, 16h59

Envoyé par FAN FAN

Voici un exemple très simple:
Je me donne le polynôme X²-1. Les endomorphismes qui l’annulent (racines de X²-1 dans Kⁿ) sont au nombre de trois:
f₁ =-Id; f₂ =Id; f₃ =symétrie par rapport à Ker(f₃-Id) parallèlement à Ker(f₃+Id).
Dans ce cas particulier leur nombre ne dépend pas de la dimension n. Est-ce toujours le cas ?

pour n=1, les 2 derniers endomorphismes coïncident, donc le nombre de racines dépend en fait de la dimension.

**FAN FAN** · 26/12/2014, 18h08

Envoyé par minushabens

pour n=1, les 2 derniers endomorphismes coïncident, donc le nombre de racines dépend en fait de la dimension.

Exact, et c'est d'ailleurs conforme au fait que le nombre de racine dans K de X²-1 est 2, K considéré comme espace vectoriel de dimension 1.

**FAN FAN** · 26/12/2014, 18h20

Envoyé par FAN FAN

Bonjour,
Voici le problème que je me pose:

De la même manière qu’un polynôme P de K[X] de d°p a p racines dans K (si clos), je pose la question du nombre de racines de P dans End(Kⁿ), plus précisément:

Soit K un corps (clos pour simplifier) et K[X] l’ensemble des polynômes sur K.
Soit End (Kⁿ), l’anneau des endomorphismes de l’espace vectoriel Kⁿ.

On a la notion bien connue de polynômes annulateurs d’un endomorphisme donné f de Kⁿ, à savoir l’ensemble de ces polynômes est l’idéal engendré par le polynôme minimal de f.

Je pose la question inverse:
Je me donne maintenant un polynôme P de K[X] de d°p.
Quels sont les endomorphismes de Kⁿ annulés par ce polynôme P ?
Sont-ils en nombre finis ?
Si oui, on doit pouvoir calculer leur nombre qui doit être fonction de n, du d° p et des coefficients de P.
Peut-on expliciter ces endomorphismes ?

Voici un exemple très simple:
Je me donne le polynôme X²-1. Les endomorphismes qui l’annulent (racines de X²-1 dans End(Kⁿ)) sont au nombre de trois:
f₁ =-Id; f₂ =Id; f₃ =symétrie par rapport à Ker(f₃-Id) parallèlement à Ker(f₃+Id).
Dans ce cas particulier leur nombre ne dépend pas de la dimension n. Est-ce toujours le cas ?

Y-a-t-il une méthode générale pour trouver le nombre de tels endomorphismes ou faut-il étudier chaque cas particulier ?

Je m’excuse d’avance si cette question n’était pas pertinente.
Bonne année à tous.

Petite correction en rouge.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**minushabens** · 27/12/2014, 08h08

Envoyé par FAN FAN

Voici un exemple très simple:
Je me donne le polynôme X²-1. Les endomorphismes qui l’annulent (racines de X²-1 dans Kⁿ) sont au nombre de trois:
f₁ =-Id; f₂ =Id; f₃ =symétrie par rapport à Ker(f₃-Id) parallèlement à Ker(f₃+Id).

As-tu remarqué que si 1 désigne l'identité de K^n, le polynôme X^2-1 n'est pas dans K[X] ?

**FAN FAN** · 27/12/2014, 08h28

Envoyé par minushabens

As-tu remarqué que si 1 désigne l'identité de K^n, le polynôme X^2-1 n'est pas dans K[X] ?

Quand on remplace l'indéterminée X par un élément f de End(Kⁿ), on obtient bien sûr f°f - Id qui est dans End(Kⁿ).

**minushabens** · 27/12/2014, 08h54

ma remarque était particulièrement stupide... quelque-chose me dit que ta conjecture est fausse, alors j'essaie désespérément de l'invalider. Je vais y penser un peu plus sérieusement...

**Dicolevrai** · 27/12/2014, 08h56

Salut !
Si K est clos alors le polynôme P est scindé et on peut écrire exactement les endomorphismes qui son annulés par P.

**minushabens** · 27/12/2014, 09h04

D'ailleurs il faudrait que tu précises un peu cette conjecture. Dès que n>1, toutes les symétries f par rapport à un sous-espace vérifient f^2=Id, et il y en a une infinité si K est R par exemple. Mais si je comprends bien tu les comptes pour 1. C'est bien ça? Remarque que dans ton exemple Id est la symétrie par rapport à K^n et -Id est la symétrie par rapport à {0} et donc finalement X^2-Id a une unique solution.

**FAN FAN** · 27/12/2014, 09h14

Envoyé par Dicolevrai

Salut !
Si K est clos alors le polynôme P est scindé et on peut écrire exactement les endomorphismes qui son annulés par P.

Oui c'est la réponse à ma question. Si K est clos, tout polynôme est simplement scindé en facteurs de d°1. On doit alors rechercher les endomorphismes annulateurs pour chaque diviseur du polynôme donné. Il semble qu'il n'y ait pas de méthode générale pour prévoir le nombre de tels endomorphismes annulateurs.

**minushabens** · 27/12/2014, 09h25

Bah ça marche pas bien ça. si tu écris X^2-1=(X+1)(X-1) tu récupères Id et -Id mais pas les autres (qui n'annulent aucun de deux facteurs mais qui annulent leur produit). C'est d'ailleurs ce qui me fait penser que ta conjecture est fausse, l'anneau des endomorphismes n'est pas intègre et les résultats généraux sur les racines des polynômes concernent les anneaux initègres.

**FAN FAN** · 27/12/2014, 09h26

Envoyé par minushabens

D'ailleurs il faudrait que tu précises un peu cette conjecture. Dès que n>1, toutes les symétries f par rapport à un sous-espace vérifient f^2=Id, et il y en a une infinité si K est R par exemple. Mais si je comprends bien tu les comptes pour 1. C'est bien ça? Remarque que dans ton exemple Id est la symétrie par rapport à K^n et -Id est la symétrie par rapport à {0} et donc finalement X^2-Id a une unique solution.

Ce que tu dis est une remarque intéressante.
Si on considère comme solution une classe d'équivalence d'endomorphismes (par exemple la classe des symétries dans l'exemple X²-1), se pourrait-il qu'il n'y ait qu'une solution unique (1 classe d'endomorphismes) pour chaque polynôme.
Cela serait un résultat intéressant.

**FAN FAN** · 27/12/2014, 09h31

Envoyé par minushabens

D'ailleurs il faudrait que tu précises un peu cette conjecture. Dès que n>1, toutes les symétries f par rapport à un sous-espace vérifient f^2=Id, et il y en a une infinité si K est R par exemple. Mais si je comprends bien tu les comptes pour 1. C'est bien ça? Remarque que dans ton exemple Id est la symétrie par rapport à K^n et -Id est la symétrie par rapport à {0} et donc finalement X^2-Id a une unique solution.

Je n'ai fait aucune conjecture, mais seulement posé un problème sans conjecturer de solution.

**Dicolevrai** · 27/12/2014, 09h38

Ah oui, annuler un polynôme de End(K^n) ne peut marcher comme dans K. On a perdu l'intégrité

**FAN FAN** · 27/12/2014, 09h47

Envoyé par Dicolevrai

Ah oui, annuler un polynôme de End(K^n) ne peut marcher comme dans K. On a perdu l'intégrité

Avoir perdu l'intégrité n'enlève rien à l'intérêt du problème, au contraire !

**Dicolevrai** · 27/12/2014, 09h49

Prenons P=x^3 - 1.

Postulat : les seules racines sont Id et les rotations vectorielles d'angle un multiple pair de pi/3.

**FAN FAN** · 27/12/2014, 15h25

Envoyé par Dicolevrai

Prenons P=x^3 - 1.

Postulat : les seules racines sont Id et les rotations vectorielles d'angle un multiple pair de pi/3.

Je ne trouve pas ça.
Si on suppose que K est le corps clos des complexes, je trouve comme endomorphismes racines:
f₁=Id
f₂=Homothétie de rapport (-1/2) - i (racine3)/2
f₃=Homothétie de rapport (-1/2) + i (racine3)/2
Et je soupçonne qu'il y en a d'autres plus difficiles à calculer...

Racine d’un polynôme de K[X] dans End(K^n).

Racine d’un polynôme de K[X] dans End(K^n).

Re : Racine d’un polynôme de K[X] dans End(K^n).

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