Intégrale impropre et intégrabilité

[hary38]

Bonjour, j'ai quelques questions qui m'empêchent de comprendre mon cours d'intégration (je suis en L2)
Quelle est la différence entre une fonction intégrable (Riemann) et la convergence d'une intégrale impropre ? Si une intégrale impropre converge, est-ce que la fonction correspondante est intégrable ?
Peut on parler d'intégration au sens de Riemann sur des intervalles quelconques ou cela ne concerne que des compacts ?
D'ailleurs je ne comprends pas l'étude (intégrabilité sur l'intervalle )0 ; infini( ) de la fonction sin(x)/x, si vous pouviez m'expliquer pourquoi cette fonction est intégrable ou non ça me permettrait de continuer mon cours parce que je lis tout et son contraire pour cette fonction.
Cordialement,
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[hary38]

J'oubliais, autre question : pourquoi dans la définition d'une fonction intégrable au sens de riemann on veut que les primitives de f soit majorées ? Pourquoi on ne veut pas seulement que la fonction soit continue ? Existe-t-il des fonctions continues et non intégrables au sens de Riemann ?
Merci d'avance, cordialement,

[gg0]

Bonsoir.

Quelle est la différence entre une fonction intégrable (Riemann) et la convergence d'une intégrale impropre ?
Déjà, l'intégrale de Riemann est définie sur un intervalle borné, les intégrales impropres, non. Ensuite, même si c'est le cas, une intégrale impropre est utilisée lorsque la définition de l'intégrale de Riemann, justement, ne fonctionne pas. Ce qui répond à ta deuxième question. et même à la suivante. Deux questions qui sont déjà évidentes dans ton cours, normalement (*).

Pour sin(x)/x, elle est Riemann-intégrable sur tout intervalle [a,b] avec a>0. prolongée par continuité en 0, elle est même intégrable sur [0, b], ou [a,b] avec a<0. Pour intégrer sur [0,+oo[ on n'a pas le choix : intégrale généralisée (impropre).

Pour ton deuxième message, désolé, je ne sais pas de quoi tu parles. Toute fonction continue (ou même simplement croissante, ou plus largement encore, réglée) sur [a,b] est intégrable sur [a;b].

Cordialement.

NB : " je lis tout et son contraire pour cette fonction" ?? Sans doute parce que tu lis un peu n'importe quoi. En mélangeant (par exemple, au sens Lebesgue, elle n'est pas intégrable sur [0;+oo[, mais ça n'a rien à voir).


(*) enfin, on pourrait faire des intégrales impropres sur un intervalle borné où la fonction est Riemann-intégrable, mais c'est du vice !

[hary38]

Merci pour ta réponse ! Pour mon second message, une définition de mon cours dit : que f >= 0 continue sur I est intégrable (ou sommable) si et seulement s'il existe M réel positif tel que pour tout intervalle J inclus dans I on a "intégrale sur J de f" <= M. I est un intervalle non vide ni réduit à un point. Donc pourquoi la continuité ne suffit pas ? Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ok.

Si I est fermé, c'est évident. Donc le seul cas utile, c'est si I a une (ou deux) borne ouverte, donc qu'on ne sait pas ce qui se passe à la borne ouverte. Regarde par exemple pour f(x)=1/x et I=]0;1].

[hary38]

Ah c'est bon j'ai compris ! Merci beaucoup !