Dérivé niéme

[NaseemS]

J'ai trouvé un exercice qui me demande de calculer le dérivé niéme de Sin(1/x) j'ai compris pas d'où je vais commencer, AIDEZ-MOI S'il vous plaît
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[gg0]

Bonjour.

Commence par les dérivées première, seconde, troisième pour voir.

La dérivée n-ième est ce qu'on obtient en dérivant n fois (n est un entier positif).

[NaseemS]

j'ai dérivé cette fonction 5 fois mais j'ai trouvé aucun relation chez ces dérivés...

[gg0]

effectivement, on ne voit pas apparaître grand chose

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ashrod]

Bonjour,

Cette question m'intéresse car j'ai réussi, en analysant les dérivées successives de la fonction [et en adaptant une méthode que j'ai redécouverte récemment (pas trouvée donc) pour obtenir les coefficients du binôme de Newton] à trouver une formule permettant d'en obtenir explicitement la dérivée d'ordre n.

Je ne sais pas si je peux poster ma réponse maintenant (j'attends l'avis d'un modérateur sur ce point).

Je précise juste que cette formule fait intervenir une somme de n termes (que j'expliciterais plus tard) affectés de coefficients qui s'obtiennent en faisant un produit de facteurs déterminés.

Par contre, je ne discuterais absolument pas les critères de domaine de définition, juste la mise en formulation ainsi que les éléments qui m'ont permis de déduire la forme de la réponse.

A bientôt

[Médiat]

Bonsoir,

Il n'y a pas de problème, donnez votre solution.

[Ashrod]

Tout d'abord, désolé pour la pauvreté de mise en forme du texte, je fais de mon mieux dans des plages de temps qui sont relativement courtes, j'essaierais de m'améliorer pour les futures réponses...

Donc, à trouver (je ne prends pas en compte la dérivée d'ordre 0 car elle ruine un peu la beauté des développements ultérieurs).

Je fais donc les dérivées successives, pour voir un peu comment cela se comporte, et je vais me limiter aux six premières (c'est le minimum qu'il m'à été nécessaire pour enfin voir les mécanismes à la base de la formulation) :

1. On constate que les différents termes sont affectés de valeurs périodiquement négatives et positives (attention, pas alternativement). C'est le point de départ qui m'a fait penser aux dérivées successives du sinus (qui sert dans le changement de variable opéré dans la formule).
2. Ensuite, on constate que toutes ces dérivées sont divisées par des puissances successives de x mais en commençant par n et en allant jusqu'à . Ce qui est facile à placer dans la formule de la somme.
3. Probablement le point le plus dur : si on regarde uniquement la valeur absolue des coefficients (puisque le signe est déjà géré), on ne voit rien apparaître de probant si ce n'est que le premier coefficient vaut n! et que le dernier vaut 1. C'est là que la mise en tableau des coefficients et l'analyse ligne par ligne de ce tableau (que je ne reproduis pas car je n'ais pas encore cherché les commandes pour faire un tableau) m'ont permis de constater que les coefficients étaient multipliés par une fraction simple.
   Si je prend donc la convention que les coefficients sont de la forme (pour un n donné) , je retrouve, par ligne, les coefficients dans l'ordre.

De ces considérations, j'en déduis la formulation :




Voila.

Il va sans dire que je suis certain qu'il y a moyen de simplifier cette formulation (ne fut-ce qu'au vu de la démarche entreprise par NaseemS), d'y trouver des raccourcis ou des simplifications, mais je dois dire que je n'ais pas vraiment creusé dans cette voie (faisant plus appel à des fonctions génératrices et des chose que je maîtrise moins bien).

Merci beaucoup.

A bientôt.

[Médiat]

Bonjour,

Je trouve plutôt :

[Médiat]

A vérifier, mais finalement je trouve (je ne me suis pas occupé du signe, mais c'est facile) :



Cette formule fonctionne aussi pour n = 1

[Médiat]

En fouillant un peu sur oeis.org, je viens de voir que ce que j'ai appelé ci-dessus, est égal au nombre de partitions de en listes ordonnées (Nombres de Lah), mais j'avoue que je ne vois pas le rapport entre les deux questions ...

[Ashrod]

Merci beaucoup pour ce coup de pouce.

Effectivement, j'ai été un peu vite dans la détermination des . Le lien avec d'autres concepts peu faire partie d'une étude complémentaire.

Je dois dire que c'est furieusement passionnant. Je ne connaissais pas ces suites de nombres. Le recours à eois devrait être un réflexe.

Encore merci pour votre aide.

[Médiat]

Bonjour,

Finalement on peut écrire (sauf erreur de transcription), pour :