Arithmétique

[Gandhi33]

Bonsoir, j'aimerais prouver que si sont tels que



Alors

Merci d'avance
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[invite19431173]

Salut !

T'es sûr que c'est une question niveau "collège - lycée" ?

[Gandhi33]

C'est vrai que ce doit être difficile puisque je n'ai pas su le faire

[invite19431173]

Non, mais j'ai besoin de la réponse à cette question, parce qu'il y a deux sections mathématiques ici : avant le bac, et après le bac.

De quel niveau est-ce ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gandhi33]

Ok tu peux mettre le sujet dans Mathématiques du supérieur

[Gandhi33]

et
On a donc
C'est à dire
où signifie a divise b

Mais je n'arrive toujours pas à conclure que

[Ashrod]

Ne pas oublier que comme p et q sont naturels, ...

[Ashrod]

Ou plus direct (suivant la dernière ligne de ton message) :

A quelles conditions ? Il y en a 2 évidentes (et les autres ne sont pas possible pour un critère de parité, voir preuve de l'irrationnalité de ), et l'une des deux conduit à une contradiction (du style 'une des variables qui doit être un entier ne peut s'exprimer que comme un rationnel irréductible'). Le reste en découle...

[Médiat]

Bonjour,

A quelles conditions ? Il y en a 2 évidentes (et les autres ne sont pas possible)

Je vois bien deux solutions évidentes et , mais je ne vois pas pourquoi les autres seraient impossibles, d'ailleurs est aussi solution (mais pas du système initial)

[polf]

Bonjour,

Ca n'est pas simple, mais ca peut se démontrer comme ceci : (je prends a pour alpha)

1) Si a=0 : p=1/(1+n^2) -> pas de solution sauf n=0
2) Si a=n : p=a+1 et q=n^2+a+1 -> quelque soit a naturel (y compris 0), a=n est toujours solution
3) Cas a >= 1 :
On écrit n=a+b

p=(a+1)/(2.a.b+b^2+1)
on peut calculer q, mais ca ne sert à rien pour la démonstration

Le dénominateur b^2+2.a.b+1 doit être positif
Après qlq calculs, b^2+2.a.b+1 > 0 <-> b>-a.(1-sqrt(1-1/a^2))

- Pour a=1 : b>= -1 mais b=-1 entraine un dénominateur nul, donc il faut b>=0
- Pour a>=2, il faut b>= 0
4) On cherche donc s'il existe des solutions autres que a=n, donc telles que b >=1

p=(a+1)/(2.a.b+b^2+1)

Dénominateur - numérateur = 2.a.b+b^2+1 - (a+1) = b^2 + (2.b-1).a >0 car 2.b-1 >0
Le dénominateur étant strictement plus grand que le numérateur, il ne peut pas y avoir de solution

CONCLUSION :
a=n pour tout n >=0 est l'ensemble des solutions

[Ashrod]

Bonsoir,

Juste pour dire à Médiat que je suis d'accord avec son raisonnement. Quand j'ai écris "solutions impossibles", je pensais par rapport à l'énoncé de départ.

Je remercie au passage Polf pour avoir eu la gentillesse d'écrire sa solution.

Je pense aussi que dorénavant, avant de répondre, je me ferais un schéma de ce qu'il est possible de répondre en respectant la charte du forum pour éviter une mésaventure de ce type.

Encore merci et à bientôt

[polf]

Ashrod, nous nous faisons tous contredire à tort ou à raison, et puis peu importe finalement. Tout le monde a parfois raison, et parfois tort

Pour info, un exemple de solution SEULEMENT pour q est : n=80 et alpha=74 -> q=7

[polf]

Dommage que Gandhi33 connaisse pas le mot merci...