Bonjour ! J'aurai besoin d'un petit coup de main pour l'exo suivant :
On a A une matrice carrée et un entier n tel que An=tA. On pose B=An+1.
1) Montrer que B est symétrique e que ses valeurs propres sont positives.
2) Calculer Bn. En déduire les valeurs propres de B et sa nature géométrique.
3) Montrer que KerB et ImB sont supplémentaires orthogonaux et stables par A.
1) Fait.
2) J'ai calculé que Bn=tB=B.
On me demande d'en déduire les valeurs propres de B et sa nature géométrique et j'ai un peu de mal.
J'ai raisonné comme cela :
B est symétrique, donc il existe O une matrice orthogonale telle que tOBO est diagonale. Et donc, en notant x1,x2,...xk les valeurs propres de B, je sais que la somme x1+x2+...+xk=Tr(tOBO)=Tr(B).
Or je sais que Tr(Bn)=x1n+x2n+...+xkn et de plus Bn=B donc Tr(Bn)=x1n+x2n+...+xkn=Tr(B)=x1+x2+...+xk.
Et donc j'ai regroupé tout d'un même côté :
x1(x1n-1-1)+...+xk(xkn-1-1)=0.
Comme je sais que les valeurs propres de B sont positives, j'aimerai en déduire que chaque terme est positif mais pour cela il faudrait montrer que (xin-1-1) est positif et je ne sais pas comment faire...
3) Je n'arrive pas à montrer qu'ils sont supplémentaires...
Voilà voilà, si une gentille âme trouve la bonté de me débloquer j'en serai ravie
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