Orientation de surface (ou courbe)

[artemis16]

Bonsoir,
Comment savoir le sens d'orientation d'une courbe ou d'une surface à partir de leurs fonctions vectorielles?

par exemple si on pose avec et l'orientation d'une courbe C, comment sait-on si cette courbe est orientée positivement?
Merci pour vos réponses.
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[artemis16]

J'ai du mentionné que l'orientation positive d'une surface correspond si elle est orientée dans le sens anti-horaire
cette orientation me pose problème lors du calcul du flux d'un champ à travers une surface

[polf]

Le vecteur : dr/dt (je ne maitrise pas LATEX) donne en r(t) un vecteur tangeant à la courbe.
Le vecteur d2r/dt^2 donne lui l'accélération (en mécanique du point) en r(t).

L'orientation de la courbe est donnée par le signe de :

s = (dr/dt) X (d2r/dt^2) où X est le produit vectoriel.

s positif pour courbure dans le sens direct, négatif pour le sens indirect


Dans l'exemple :

r(t) = cos(t).sin(t).i + sin(t).j = 1/2.sin(2.t).i + sin(t).j
dr/dt = cos(2t).i + cos(t).j
d2r/dt^2 = -2.sin(2t).i - sin(t).j

s = (dr/dt) X (d2r/dt^2) = -cos(2t).sin(t) +2. cos(t).sin(2t)
s = -2.cos(t)^2.sin(t) + sin(t) +4. cos(t)^2.sin(t)
s = sin(t) +2. cos(t)^2.sin(t)
s = sin(t) . (1 +2. cos(t)^2)

Comme 1+2.cos(t)^2 est toujours positif :

signe(s) = signe (sin(t) )

Courbure directe entre 0 et pi, puis indirecte entre pi et 2.pi