R et l'axiome de l'infini

[Amanuensis]

Bonjour,

Est-ce que cela a un sens de dire que R implique l'axiome de l'infini?

Une piste serait de partir d'une définition de R formalisable et d'en tirer l'existence d'un ensemble répondant à l'axiome de l'infini

Par exemple, en partant de

"Il existe un corps totalement ordonné qui satisfait l'axiome de la borne supérieure" (ou autre caractérisation de R)

peut-on arriver à exhiber "un ensemble auquel appartient l'ensemble vide et qui est clos par application du successeur x → x ∪ {x}" (ou autre version de l'axiome de l'infini)?

Cordialement,
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[Amanuensis]

PS: La question est peut-être bien plus simple. Toutes les propriétés de R ne sont pas obligatoirement nécessaire. Par exemple "il existe un groupe commutatif totalement ordonné archimédien" est peut-être suffisant pour impliquer l'axiome de l'infini (1).

Si la réponse à la question posée message #1 est oui, une sous-question serait de proposer une "sous-structure minimale" de R impliquant l'axiome de l'infini.

(1) Intuitivement cela semble le cas, mais la question est de passer de l'intuition à la démonstration (ou l'infirmation)!

[minushabens]

Il me semble qu'un groupe abélien totalement ordonné, s'il n'est pas réduit à {0}, est nécessairement infini. La propriété d'Archimède n'intervient pas.

[Amanuensis]

Z/2Z muni de l'ordre tel que 1>0 ne répond-il pas à la définition d'un groupe commutatif totalement ordonné?

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

non parce que si 0<1 on devrait avoir 1=0+1<=1+1=0

[Seirios]

Une précision : dans groupe ordonné, il est sous-entendu que la relation d'ordre est compatible avec la loi du groupe. Si ce n'était pas le cas, ce ne serait pas vraiment intéressant, puisque n'importe quel ensemble peut être totalement ordonné (et même plus).

On peut montrer qu'un groupe ordonnable est toujours sans torsion, par un argument similaire à celui donné par minushabens.

[Amanuensis]

Je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas accepter n'importe quel ordre total et ajouter "archimédien". Mais bon, va pour une autre option, cela revient au même pour le but visé.

On en serait donc à "il existe un groupe commutatif totalement ordonné, ordre compatible avec la loi de groupe" => axiome de l'infini ?

Démonstration?

[Seirios]

On devrait même pouvoir enlever commutatif. Par contre, il faudrait ajouter non trivial. Dans ce cas, si est un élément non trivial du groupe, alors est un sous-ensemble infini du groupe.

[arttle]

On peut donc encore alléger en prenant "un groupe non trivial qui ne contient aucun sous-groupe fini non trivial"

On enlève la commutativité et l'ordre par dessus le marché!

[contrexemple]

On peut donc encore alléger en prenant "un groupe non trivial qui ne contient aucun sous-groupe fini non trivial"

On enlève la commutativité et l'ordre par dessus le marché!

Salut,
Un tel groupe est isomorphe à (Z,+) (Z l'ensemble des entiers relatifs) et pas besoin d'autant de structure.

Il suffit de reprendre l'Axiomatique de Dedeking :
On considère le triplet (0,N,succ) tel que :
N un ensemble dont 0 est un élément,
succ une fonction sur N tel que succ injective,
pour tout sous partie A de N, si 0 dans A et succ(A) inclus dans A, alors A=N (récurrence).


Cela est suffisant pour construire un ensemble S de cardinale non fini, c'est à dire tel qu'il existe une bijection entre S et une partie U strictement inclus dans S.

Cordialement.

[contrexemple]

PS : j'ai oublié de précisé (même si cela est implicite) que succ fonction de N dans N et que 0 n'est pas dans succ(N), pour plus d'info voir le lien wiki : http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano

[contrexemple]

PS : et aussi c'est Dedekind et non Dedeking,

[Amanuensis]

La question ne porte pas sur la construction d'un machin infini, mais est de montrer que le postulat d'existence d'un corps totalement ordonné satisfaisant l'axiome de la borne supérieure implique l'axiome de l'infini.

Pour le moment, l'idée serait que le postulat d'existence de R implique l'existence de (R, +, >) qui est un groupe non trivial totalement ordonné, ce qui impliquerait l'axiome de l'infini. (Non trivial parce que l'élément neutre multiplicatif est différent de l'élément neutre additif, j'imagine.)

Une construction de N n'implique pas l'existence d'un ensemble infini.

[contrexemple]

...Une construction de N n'implique pas l'existence d'un ensemble infini.

Si, par le paradoxe (proposé par Hilbert) de l’hôtel avec un nombre dénombrable de chambre, qui marche dans le cas de l'axiomatique de Dedekind (ou Peano, les deux sont équivalents).

[minushabens]

annulé ........

[eudea-panjclinne]

Une construction de N n'implique pas l'existence d'un ensemble infini.

Effectivement dans le contexte de ZF. Si on peut alors construire dans ZF\{axiome infini} à partir de cette collection d'entiers une collection qui satisfasse vos deux conditions :
"Il existe un corps totalement ordonné qui satisfait l'axiome de la borne supérieure"
alors on aura montré que IR n'implique pas l'axiome de l'infini, dans le cas contraire, Si.
Je n'ai aucune idée de la réponse.

[Amanuensis]

Effectivement dans le contexte de ZF. Si on peut alors construire dans ZF\{axiome infini} à partir de cette collection d'entiers une collection qui satisfasse vos deux conditions :
"Il existe un corps totalement ordonné qui satisfait l'axiome de la borne supérieure"
alors on aura montré que IR n'implique pas l'axiome de l'infini, dans le cas contraire, Si.

Oui.

Ma question vient bien de là (de savoir quel sens peut avoir construire R sans l'axiome de l'infini), mais je l'ai mise dans le sens R => infini (pour raccourcir), qui me semble plus clair.

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Un point qui ne m'est pas clair (parmi bien d'autres) est si on peut "structurer" (e.g., lui donner une structure algébrique) une "collection". J'imagine que lorsqu'on parle d'un groupe (G, +), alors G est un ensemble et non une "collection" (1). Par exemple, parler du groupe (Z,+) demande l'axiome de l'infini.

(1) Pourrait-on commencer une proposition par "quelque soit x appartenant à G" si G est une "collection" ?

[invite73192618]

Une construction de N n'implique pas l'existence d'un ensemble infini.

Une façon de comprendre ta question serait la suivante: est-ce que la construction de Dedekind, qui consiste grosso modo à dire "je prend une collection ordonnée d'objets et pour chaque paire consécutive je définis un nouveau objet qui est entre les deux", est intéressante quand on l'applique à autre chose qu'à Q?

Si oui cela semble difficile d'avoir quelque chose d'intéressant avec une collection finie d'entier, par contre il y a peut-être des choses intéressantes avec des collections de nombres bizarres, par exemple une suite finie de k nombres, associés aux entiers selon n(k)=n(k-1)+1/BB(k+cst), où cst est une constante non définie et BB est le castor affairé.

Mais en fait je ne suis pas du tout certain de comprendre ta question. Par exemple pour moi N c'est N, et N c'est un ensemble infini. Peux-tu montrer un N' qui n'est pas infini et expliquer pourquoi tu l'appelles de cette façon?

[Amanuensis]

Une façon de comprendre ta question serait la suivante

Ma question est à comprendre comme elle est posée.

[eudea-panjclinne]

Pourrait-on commencer une proposition par "quelque soit x appartenant à G" si G est une "collection" ?

Là sans problème, si représente la collection de tous les ensembles ont peut parfaitement écrire .
En revanche, je pense que cela deviendra problématique quand on voudra utiliser les propriétés relatives aux ensembles à la collection G. Puisque les axiomes de ZF sont faits pour des ensembles. Mes connaissances s’arrêtent ici.

[invite73192618]

On poursuit par mp pour ceux que ça intéresse. A+

[Amanuensis]

Là sans problème

Admettons. Allons plus loin: peut étudier l'assertion "il y a une injection stricte de telle collection vers elle-même?".

Plus généralement que peut-on "dire" à propos d'un ensemble qu'on ne peut pas "dire" à propos d'une collection?