Table de caylay

[lepetitchimiste]

Bonjour à tous,

* la LCI sur E={a,b,c} par sa table de calay:

* a b c
a c a a
b c a b
c a b c

Ma question est:
Combien de lois de composition interne peut on définir sur E ? Combien sont commutatives ? Combien d'entres elles on un élément neutre ?

Je pense que la multiplication et l'addition sont les seules lci qui peuvent être définies sur E et je pense que ces 2 lci ont comme élément neutre c.
Si ce n'est pas ça, merci de bien vouloir m'éclairer, je ne suis pas sur du tout de moi,

Cdt,
Mathieu
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[minushabens]

Tu es loin du compte! Une loi de composition est n'importe quelle application de ExE dans E.

[Médiat]

Bonjour,

Pour aller dans le sens de minushabens, que pensez-vous de :

* a b c
a a a a
b a a a
c a a a

[lepetitchimiste]

euh cette table ne m'inspire pas vraiment... pour moi, a, b, c sont égaux et a est un élément neutre... mais ca doit pas être ça :/

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

pour moi, a, b, c sont égaux et a est un élément neutre... mais ca doit pas être ça :/

Aucune raison pour que a, b et c soient égaux, a est bien neutre, je voulais attirer votre attention sur la remarque de minushabens !

[lepetitchimiste]

Je crois que je ne comprends pas vraiment le principe d'une application...
Une application, en gros, c'est une sorte de fonction entre 2 valeurs de E non ? (les 2 valeurs sont a, b ou c et a, b ou c)

[Médiat]

Oui (pourquoi "une sorte" ?), ce qui vous donne 9 images à déterminer (comme dans la table).

[minushabens]

Je crois que je ne comprends pas vraiment le principe d'une application...

il faudrait peut-être commencer par revoir cette notion alors.

[lepetitchimiste]

Alors merci de m'avoir éclairé,
Je disais "une sorte" car j'en étais pas sur...
Donc d'accord cette fonction nous donne 9 images.
Mais je ne vois toujours pas comment résoudre mon problème, pouvez vous me donner une piste svp ?

[gg0]

Bonjour.

Pour chacun des couples d'objets à composer, tu as le choix entre 3 résultats possibles.

Cordialement.

[lepetitchimiste]

Oui, merci ggO, ça je le sais mais je vois pas en quoi ça pourrait m'aider :'(
Je connais mon cours mais pourtant je n'arrive pas à répondre à cette question :/

[gg0]

Ben ... tu sais compter !

En tout cas, pour "combien de LCI" tu peux répondre.
Ensuite, pour commutative, il va falloir faire un petit effort de réflexion.

Question : Tu n'as jamais fait de dénombrement ?

[lepetitchimiste]

Si on en a déja fait mais on en fait pas bcp...
En fait chaque case a 3 "possibilités" (a, b ou c) et il y a 9 cases, autrement dit, la question est de savoir combien il y a de possibilités pour faire ce tableau...?

[gg0]

Ben,

c'est quelque chose que tu fais depuis l'école primaire, que tu ferais spontanément dans la vie courante. Pourquoi, sous prétexte que tu fais des maths ne fais-tu pas le calcul évident ?

Le dénombrement, c'est pour la suite. Il n'y a pas besoin d'en avoir fait beaucoup. Et encore, on peut s'en passer.

[lepetitchimiste]

Je ne sais pas combien il y a d'LCI pffff
a*b est une LCI, a*a est une LCI, etc, donc il y a 9 LCI ?

[minushabens]

Repartons de plus loin : si tu te donnes deux ensembles finis E et F ayant n et m éléments. Combien y a-t-il d'applications différentes de E dans F ?

[invite02232301]

Bonjour,

Je ne sais pas combien il y a d'LCI pffff
a*b est une LCI, a*a est une LCI, etc, donc il y a 9 LCI ?

En fait ton souci c'est pas que tu sais pas combien y a de LCI, c'est que tu n'as pas une vision claire de ce qu'est une LCI.
Avec les mains, une lci c'est une fonction (ou une application, pour moi c'est synonyme), qui prend 2 elements de E, et en recrache un 3 eme.
Plus formellement une lci c'est une application de ExE dans E.

Donc question annexe, peux tu nous donner des exemples de lci sur {a,b,c} ?

UNe fois que tu auras bien compris ca, ce sera un jeu d'enfant de les denombrer.

[Médiat]

a*b est une LCI, a*a est une LCI, etc, donc il y a 9 LCI ?

Non ! Une LCI est définie quand l'image de tous les couples est définie !

[minushabens]

Au fait, je me demandais : une LCI sur un ensemble à n éléments c'est équivalent à la donnée d'une matrice carrée nxn à n symboles. Voir qu'une lci est commutative c'est voir que la matrice est symétrique par rapport à la première diagonale. C'est facile donc. L'existence d'un élément neutre, facile aussi. Mais l'associativité, ça se "voit" sur la matrice?

[Médiat]

Bonjour,

J'avoue ne pas comprendre où vous voulez en venir, il faut 2 opérations pour le produit de matrices...

[gg0]

...
En fait chaque case a 3 "possibilités" (a, b ou c) et il y a 9 cases, autrement dit, la question est de savoir combien il y a de possibilités pour faire ce tableau...?

C'est une question pour fin d'école primaire, ou début de collège.
Je reprends au niveau CE1 : Tu as 9 boites dans lesquelles tu peux mettre 3 buchettes à chaque fois. Combien peux-tu mettre de buchettes ?

Cordialement.

[lepetitchimiste]

minushabens : "Repartons de plus loin : si tu te donnes deux ensembles finis E et F ayant n et m éléments. Combien y a-t-il d'applications différentes de E dans F ?"
ma réponse: JE NE SAIS PAS !!!!

MiPaMa: "Donc question annexe, peux tu nous donner des exemples de lci sur {a,b,c} ?"
ma réponse: par exemple, les lci a*a=c, b*a=c

Sinon, pour ma question de départ, j'ai trouvé la réponse dans mon cours mais je crois que je n'ai pas tout saisi.
Le nombre de lci est de "3^9" d'après mon cours pour une table de cayley de la meme taille que celle de l'exo.
Donc la reponse est bien 3^9 lci soit 19683 lci.
Le 3 correspond aux nb de choix possibles dans une case, et 9, le nombre de case c'est bien ca ?

Si oui, pouvez vous essayer de m'expliquer d'une autre manière ce qu'est une application car je n'ai pas encore compris :/

[lepetitchimiste]

27 buchettes !

[gg0]

Minushabens,

la commutativité, c'est simple. L'élément neutre aussi, et l'associativité ne lui a pas été demandée. L'exercice est du dénombrement élémentaire.
Et pas besoin de parler de matrice, ce sont simplement des tableaux.

Cordialement.

[Médiat]

ma réponse: par exemple, les lci a*a=c, b*a=c

Toujours pas, si vous ne lisez pas les réponses, nous perdons tous notre temps à essayer de vous aider !

[gg0]

27 buchettes !

Ok !

maintenant que tu es sur la bonne direction (faire simple), voyons le nombre de possibilités : Dans la première case, tu as combien de choix ? dans la deuxième, une fois le choix fait dans la première case ? dans les deux premières ? dans la troisième, une fois le choix fait dans les deux premières cases ? Dans les trois premières ?

Voilà, tu vois combien de choix sont possibles ?

Pour te ramener à ton cours de dénombrement, numérotons les cases, de 1 à 9. Une LCI, c'est la donnée des neuf choix d'une lettre parmi a,b,c, dans l'ordre choix1, choix2, ...choix9. On appelle cela ... et le nombre de ... ce 9 éléments pris parmi 3 est ...

Cordialement.

[lepetitchimiste]

1ere case: 3 choix
2eme case: 3 choix
etc
etc
donc au total il y a 3^9 LCI !!!!!

"Pour te ramener à ton cours de dénombrement, numérotons les cases, de 1 à 9. Une LCI, c'est la donnée des neuf choix d'une lettre parmi a,b,c, dans l'ordre choix1, choix2, ...choix9. On appelle cela UNE LCI et le nombre de ??? ce 9 éléments pris parmi 3 est ???"

[invite02232301]

MiPaMa: "Donc question annexe, peux tu nous donner des exemples de lci sur {a,b,c} ?"
ma réponse: par exemple, les lci a*a=c, b*a=c

Non, ca ne va pas, alors repartons de plus loin.

Si oui, pouvez vous essayer de m'expliquer d'une autre manière ce qu'est une application car je n'ai pas encore compris :/

Une application de E dans F, c'est un "truc" qui a un element de E associe un element de F.
Il y a plusieurs moyens de "definir" une application. Par exemple si E est "petit" on peut specifier à la main, sur quoi chacun des elements de E s'envoie.
Par exemple voici un exemple d'application f de {0,1,2,3} dans {a,b,c}, f est définie par f(0)=a, f(1)=a, f(2)=c, f(3)=a.
Parfois quand E est "plus grand" on donne une formule ou une "recette" qui explique comment trouver f(x) a partir de x. Par exemple l'application de N (ensemble des entiers naturels) dans N, qui est définie par f(n)=n+2. Tu as f(2)=4, f(17)=19 etc... En voici une autre g qui va de N dans N, définie par g(n)= le plus grand entier entre n²+2n+1, n^3-2n et 4, ici g(0) vaut 4, g(2) vaut 9 etc...

Bon maintenant un LCI sur E c'est simplement une application de ExE (qui est l'ensemble des couples (a,b) avec a et b dans E) dans E.
Peux tu donner quelques exemples de LCI sur {a,b,c}?

[lepetitchimiste]

14h35MiPaMa: "Peux tu donner quelques exemples de LCI sur {a,b,c}?"

et bien 1ere LCI:
* a b c
a a b b
b b c a
c a c c

2eme LCI:
* a b c
a b b b
b b c a
c a a a

Une LCI est donc le tableau de caylay ENTIER !
Donc le but est de trouver tout les tableaux possibles en les remplissant avec a, b, et c.
Il y a donc 3^9 LCI !

J'espère que c'est ça...

[minushabens]

Minushabens,

la commutativité, c'est simple. L'élément neutre aussi, et l'associativité ne lui a pas été demandée. L'exercice est du dénombrement élémentaire.
Et pas besoin de parler de matrice, ce sont simplement des tableaux.

ah oui, déformation de statisticien pour lesquels les tableaux de données sont appelés matrices (ou vecteurs s'il n'y a qu'une colonne!)

mais je crois qu'on ne peut pas voir simplement sur la table si la loi est associative, en tout cas je ne vois pas comment.