Problème de matrices

[Thyssa]

Bonjour,

J'ai un petit souci au niveau d'un exercice concernant les matrices, je pense ne pas être loin de la solution cependant j'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour me débloquer.

Voici l'exercice en question:

Soit la matrice


On montre dans les premières questions que A est diagonalisable mais non inversible, on calcule les valeurs propres (0,1 et 4) et des vecteurs propres associés ce qui nous amène à la question 3:

"3) Déterminer une matrice inversible P dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1, telle que AP soit diagonale; on appelle B cette dernière matrice."

J'ai effectué un changement de base, je trouve ainsi une matrice P telle que:


J'ai aussi calculé :

En faisant le calcul demandé, je trouve bien une matrice B diagonale telle que :

Vient ensuite la question 4:
"4) Déterminer une matrice diagonale D telle que =B; en déduire une matrice R dont le carré soit A."

C'est ici que commencent mes soucis: je trouve facilement D vu que la matrice B est diagonale, seulement je ne vois pas très bien ce que je peux en déduire pour A...
Je suis partie sur : = B
= AP
= P
Donc = P

Je ne sais pas si je suis partie sur la bonne piste, de plus je n'arrive pas à déduire R à partir de ce que j'ai fais ...

Merci d'avance pour l'aide!!
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[Universus]

Bonjour,

La relation est correcte. Pour trouver un candidat R vérifiant cette relation, il est judicieux de remarquer que avec I la matrice identité. Or, il y a quelques façons évidentes d'obtenir I comme un produit de et de ... une en particulier fait en sorte que R peut être prise comme étant liée à D par un changement de bases...

[Thyssa]

Je ne suis pas sûre d'avoir bien suivi votre suggestion.

Comme est la matrice inverse de P, Je vois que P= I.
Si on remplace dans le produit, on aura donc:

= P
= P D.D
= P D.I.D
= P (D P D)

Que Devrais-je en déduire ?

[Universus]

Mon message étant volontairement nébuleux, car la réponse est (avec le recul) si simple que tu te mordrais les doigts de te la faire donner sur un plateau d'argent !

Malgré cela, tu as évité tous les écueils que ma suggestion pouvait provoquer : il fallait effectivement considérer et obtenir .

Remarque que tu ne connais pas encore de candidat R approprié, mais seulement qu'un tel R devrait vérifier . Or, d'une part, et d'autre part, . Cela te suggère un candidat particulier pour remplir le rôle de R...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thyssa]

Excusez moi mais j'avais en effet bien compris votre suggestion.

J'ai bien trouvé comme vous que l'on peut prendre R= PD, cependant en effectuant le calcul matriciel puis en calculant , je ne retrouve pas du tout la matrice A.

[Universus]

Bien, nous savons que et que , d'où . En posant , nous avons donc .

[Thyssa]

Je suis d'accord avec votre réponse, là n'est pas ma question.
Effectuez le calcul matriciel: en posant R:= PD, on trouve :



En calculant , on ne retrouve pas comme on le devrait la matrice A.

[Universus]

Ah ! Mais dans ce cas, c'est qu'il y a une erreur dans les calculs explicites de P, de son inverse, de B, de R ou de R^2.

P et B sont corrects... l'inverse de P aussi... nous calculons avec le R proposé



Donc le R proposé est bon... finalement



Donc tout est bon...