Fourier ou Laplace

[stefjm]

Bonjour,
Nous sommes quelques physiciens à nous poser des questions (physiques et mathématiques) sur les outils que nous utilisons sans toujours être très rigoureux.
La discussion qui m'amène est celle-ci:
http://forums.futura-sciences.com/ph...1-1-j-5-a.html

La question qui se pose est de savoir si les deux fonctions de transfert suivantes représente le même système physique.
Avec la transformée de Laplace (TL)


Avec la transformée de Fourier (TF)


Je suis à peu près sûr que la TL met en bijection H1 et la réponse impulsionnelle de l'EDO


Pour la TF, je ne sais pas trop à quoi correspond cette fonction de transfert. (Et s'il y a bijection?)

Merci d'avance pour vos contributions mathématiques ici et pour vos rectifications de nos bêtises (celles qui justement font qu'on ne comprend pas bien ce qu'on fait en maths) sur le fil en physique.

Cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

C'est bizarre, moi j'aurais mis p pour la TL et pour la TF.

Il y a déjà un problème de cohérence : La TL agit sur des fonctions causales (même si souvent on peut généraliser ce qui se passe pour t> au cas t<0), la TF non.

Quant à savoir si ça représente le même système physique, c'est une question de physicien. Le matheux, une fois le formalisme de représentation mis en place, valide la conduite des calculs, pour assurer que le résultat est bien une conséquence logique des hypothèses (mathématiques) de départ. Il intervient aussi (physique mathématique) pour justifier que des représentations mathématisées apparemment différentes sont en fait équivalentes.
En tout cas, pour le matheux, en posant , il est évident que les deux fractions sont les mêmes.

Cordialement.

[gg0]

En complément :
Quand on applique la TL à l'équation différentielle que tu proposes, avec (réponse impulsionnelle), on obtient où S et la TL de s.

Cordialement.

[stefjm]

C'est bizarre, moi j'aurais mis p pour la TL et pour la TF.

Oui. Je me suis mal relu.

Il y a déjà un problème de cohérence : La TL agit sur des fonctions causales (même si souvent on peut généraliser ce qui se passe pour t> au cas t<0), la TF non.

Ok.
Cette exigence de causalité implique que le degré du numérateur soit strictement inférieur au degré du dénominateur. (Sinon, il apparait des delta dans la réponse impulsionnelle.)

Quant à savoir si ça représente le même système physique, c'est une question de physicien.

En maths, on va se limiter à l'EDO.
C'est bien la même pour les deux fonctions de transfert?

En tout cas, pour le matheux, en posant , il est évident que les deux fractions sont les mêmes.

C'est une restriction de la variable p aux imaginaires purs. Dans le cas général, p a une partie imaginaire (oscillation) et une partie réelle (atténuation-amplification).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Euh ... pour un matheux, fonction causale veut dire définie sur R+, ou simplement nulle sur les négatifs. Rien à voir avec la causalité physique ou philosophique.

"C'est bien la même pour les deux fonctions de transfert?" ?? Je ne sais pas, le lien fonction de transfert/équa diff n'est pas net pour moi. A priori, il pourrait y avoir une infinité d'équa diff, si ce sont les mêmes solutions, ça suffit.

D'autres seront peut-être plus compétents ...

[stefjm]

Euh ... pour un matheux, fonction causale veut dire définie sur R+, ou simplement nulle sur les négatifs. Rien à voir avec la causalité physique ou philosophique.

La notion s'étend aux fonctions de transfert dont la réponse impulsionnelle est causale.

"C'est bien la même pour les deux fonctions de transfert?" ?? Je ne sais pas, le lien fonction de transfert/équa diff n'est pas net pour moi. A priori, il pourrait y avoir une infinité d'équa diff, si ce sont les mêmes solutions, ça suffit.

Effectivement, il pourrait y avoir simplification de pôles par des zéros.
s'=e' et s=e donne la même fonction de transfert après simplification.
Cordialement.

[invite52085ec6]

Bonjour,

"La question qui se pose est de savoir si les deux fonctions de transfert suivantes représente le même système physique.
Avec la transformée de Laplace (TL)"

Je ne suis pas mathématicien, mais si tu veux que H1(jw) soit égale à G1(p) il me semble que l'entrée que tu doit appliqué à ton système doit être sinusoïdal.
A partir de cela, ton système agit comme un filtre en fréquence avec une réponse du type: y(t)=|H(w)|sin(wt+θ(w)) (que tu peux visualiser sur des diagrammes)

|H(w)| : amplitude en fonction de w
θ(w) est le déphasage en fonction de w

Je dirais donc que c'est le même système physique, il agit simplement de façon différentes en fonction de l'entrée que tu applique au système.

Cordialement,

[stefjm]

Bonjour,
Merci pour la participation.

Sur le fil de phuphus :http://forums.futura-sciences.com/ph...1-1-j-5-a.html

Il apparait que des physiciens ou ingénieurs ne sont pas forcément d'accord sur ce qui caractérisent un système physique. (via des propriétés mathématiques)

Parmi la liste :

Système physique <=> EDO (&quation différentielle ordinaire) avec CI (conditions initiales) ou avec CI nulle
Système physique <=> RI (Réponse impulsionnelle à une impulsion de Dirac) : Une ou deux RI en fonction de la ROC (région de convergence)
Système physique <=> FT en TL (Fonction de transfert en transformée de Laplace)
Système physique <=> FT en TF (Fonction de transfert en transformée de Fourier)

Pourriez-vous nous éclairer sur les relations entre les objets mathématiques dont il est question ici?

Pour résumer la situation, il n'y a pas de soucis pour des systèmes simples (Stables, causals). Par contre, pour des systèmes instables, il n'y a pas consensus sur la notion de causalité.

D'avance merci.

Cordialement.

[gg0]

Bonjour.

Si je comprends bien, tu parles de la traduction d'un système physique en un problème mathématique, que l'on transforme pour obtenir un résultat (mathématique) qui lui même sera traduit en une conséquence sur le système physique. Il y a de nombreuses façons de faire, parfois pour le même problème (mes cours sont lointains, le 20-ième siècle était loin de sa fin, mais j'ai le souvenir de problèmes qu'on traduisait en position/vitesse, ou en énergie, en choisissant la méthode la plus simple suivant les questions).
Tout ceci relève de la physique mathématique, que je ne connais que de très loin. On y étudie les problèmes de la physique dans des traductions mathématiques diverses, les liens entre les diverses traductions, leurs équivalences. Peut-être aussi les divergences de vocabulaire suivant les traductions. Ce qui semble être le cœur de votre discussion.

"Pourriez-vous nous éclairer sur les relations entre les objets mathématiques dont il est question ici?" Pour ma part, non, car si je connais de réputation la plupart des notions, je ne les ai pas assez fréquentées pour être de bon conseil. Mais les ouvrages de physique mathématique sont là pour vous aider à comprendre.

Les seules choses que je sais, c'est qu'en appliquant une TL ou éventuellement une TF à l'équation différentielle qui définit un système (*), on obtient sa FT et qu'une TF de fonction causale est une TL en changeant de variable. C'est très formel, pas du tout physique.

Cordialement.

(*) quoi que soit par ailleurs un système.

[azizovsky]

Bonjour, ça dépend de l'abscisse de sommabilité avec et



pour la fonction n'est pas intégrable.(si alors f(t) admet une TF avec .

cette fonction est intégrable .(elle n'admet pas a priori de TF si )

elle peut être, ou ne pas être intégrable au sens de Lebesgue (c'est un peu compliqué à expliquer pour )

ps pour plus de détails voir: http://www.eyrolles.com/Sciences/Liv...-9782351410394

[phuphus]

Bonjour à tous,

je suis à l'initiative du fil cité par stefjm, et mon propos est juste de montrer un cas qui est analogue à celui-ci :
http://www.lifl.fr/~delahaye/LNA/LNA44.pdf

sauf que dans le cas d'outils mathématiques un peu plus évolués, comme les transformées de Laplace et de Fourier, la supercherie est moins facile à détecter.

Le fil initié en physique a dérivé sur deux systèmes, celui défini dans le premier message et plus tard un circuit RC à résistance négative. Je vais continuer sur ce dernier, plus simple.

Quand on modélise un circuit RC à résistance négative par une EDO, on tombe sur :



Pour la réponse impulsionnelle, l'entrée est une distribution de Dirac :



Mon propos est le suivant : avant de foncer bille en tête sur du ou du , il faut s'assurer de l'existence des transformées de Laplace ou de Fourier de .


Ici, l'EDO permettant de trouve la réponse impulsionnelle admet au moins les deux solutions suivantes ( désigne la fonction de Heaviside) :

=> la TF existe mais pas la TL

=> la TL existe mais pas la TF

Le système étant totalement représenté par sa réponse impulsionnelle, on a donc clairement une EDO qui est associée à au moins 2 systèmes. A ce stade, la modélisation mathématique est donc incomplète. Au niveau mesure sur le système RC (pas évidente, mais pas impossible), c'est que l'on trouve. Je sais que stefjm est un peu agacé par les arguments du style : on dégage parce qu'elle n'est pô physique (anticausale). Et MiPaMa avait déjà souligné à l'occasion d'un fil portant déjà sur TL et TF que si la modélisation mathématique est "propre", elle doit coller à la réalité sans besoin d'artifice ou de Bon Sens Paysan.

Ici, la condition qui manque pour que la solution de l'EDO soit unique, c'est l'orientation de la flèche du temps. Pour moi, mathématiquement, ça se traduit par "t croissant". Cela revient aussi à adopter une définition causale de la dérivée, par exemple :



Je ne saurais pas immédiatement faire le lien, en analytique, entre cette définition et l'émergence de la seule . Numériquement par contre (résolution pas à pas), on constate bien que c'est qui émerge lorsque l'on prend t croissant et quand on prend t décroissant.

Côté transformées, compte tenu de leur existence respective, on tombe naturellement sur en Fourier et sur en Laplace.

Conclusion : ne pas se laisser avoir par l'expression d'une fonction de transfert. Ce n'est pas parce que 1/(1-p) et 1/(1-jω) se ressemblent qu'elles représentent le même système. Ces deux expressions sont issues de fonctions temporelles différentes : il ne faut pas les confondre. Autre manière de le dire : on ne remplace pas impunément p par jω sans s'être assuré au préalable qu'on en avait le droit, c'est à dire :
- remplacement jω par p <=> la fonction temporelle doit être nulle pour t < 0
- remplacement p par jω <=> l'axe des imaginaires purs est inclus dans la zone de convergence de la TL, ou encore : le système est stable

Pour ce dernier cas, la TF inverse donnera le même résultat que la TL inverse dans le cas classique d'une TL monolatérale.

En TL bilatérale, compte tenu que la TL inverse dépend de la ROC, on peut juste faire p = jω pour Re(p) = 0, ce qui est une tautologie.


Voilà, le plus important à mes yeux, je l'ai mis en gras ici. Qu'en pensez-vous ?

[stefjm]

Bonjour,
Cela me va, mais tout le monde sait que je ne suis pas mathématicien et qu'il va donc falloir attendre un autre avis.
Cordialement.