Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

[contrexemple]

Salut,

Quelle est la différence entre chacune de ces notions (utilisés abondamment en mathématiques) ?

Merci.
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[Médiat]

Bonjour,

Proposition = Formule bien formée
Théorème = Proposition démontrée dans le cadre d'une théorie

Le reste n'est pas une nomenclature logique, mais simplement de présentation du discours :

Lemme = Théorème de "moindre importance" (*) permettant de démontrer le résultat principal.

Corollaire = Théorème qui est une conséquence directe d'un autre théorème.

Voir aussi : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2553410

(*) Néanmoins certains lemmes sont devenus célèbres : Lemme de Zorn, Lemme de Yonéda etc...

[ansset]

(*) Néanmoins certains lemmes sont devenus célèbres : Lemme de Zorn, Lemme de Yonéda etc...

oui, et on peut parler aussi du lemme "chinois".
une des bases des congruences.

[minushabens]

Proposition est aussi employé comme synonyme de théorème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

oui, et on peut parler aussi du lemme "chinois".

Il y en a principalement de 4 sortes : Les lemmes au poulet, au porc, aux crevettes ou encore au crabe !

[gg0]

...........

[Médiat]

Je plussoie l'éclat de rire et ajoute :

En tant que logicien je connais :
1.Les langages
2.Les termes d'un langage
3.Les formules atomiques d'un langage
4.Les formules d'un langage
5.Les axiomes d'une théorie
6.Les théorèmes d'une théorie

A noter que la littérature anglaise distingue "formule" et "formule bien formée" (wff), cette dernière notion n'étant d'aucun intérêt mathématique (mais peut en avoir à titre pédagogique), j'ai vu, les mots "assemblage" et "formule" pour traduire ces notions en français.

[Ashrod]

Bonsoir,

Si je peux me permettre, je pense que les règles permettant de déterminer automatiquement si une formule est bien formée dans un cadre précis relève d'une relative importance en logique propositionnelle.

Mais je peux me tromper.

[Médiat]

Bonsoir,

Si je peux me permettre, je pense que les règles permettant de déterminer automatiquement si une formule est bien formée dans un cadre précis relève d'une relative importance en logique propositionnelle.

Evidemment, ce que je voulais dire c'est que dans les textes en français, on utilise très majoritairement le mot "formule" (sans autre précision) dans le sens "formule bien formée", alors que cette précision (wff) est majoritairement utilisées dans les texte anglais.

Il faut bien avouer que les formules mal formées ne servent pas à grand-chose (aucun intérêt mathématique)

[contrexemple]

Bonsoir,

Donc une conjecture est une proposition ?

[Médiat]

Une conjecture est une proposition qui n'est pas démontrée et dont la négation n'est pas démontrée non plus (donc cela n'a de sens que dans le cadre d'une théorie précise).

Ne pas confondre avec une formule indécidable qui est une proposition qui n'est pas démontrable et dont la négation n'est pas démontrable non plus (donc cela n'a de sens que dans le cadre d'une théorie précise).

Parler de conjecture, c'est admettre son ignorance, parler d'indécidable c'est affirmer sa connaissance.

[PlaneteF]

(...) parler d'indécidable c'est affirmer sa connaissance.

Bonjour Médiat,

Magnifique ce morceau de phrase, ... c'est simple, court, efficace, ... et cela "résume tout" ... C'est selon moi exactement ce que n'ont pas compris toutes ces légions de personnes qui "philosophent" autour des théorèmes d'incomplétude de Gödel et qui nous gratifient à longueur de temps d'horreurs sur horreurs sur le sujet

(cela devrait même devenir une citation officielle, et ouais là j'y vais carrément à donf )

Cordialement

[Médiat]

Bonjour PlaneteF,

Merci de votre enthousiasme flatteur .

J'ai été particulièrement choqué, il y a quelques mois, d'entendre Cédric Villani dire (Sur France Inter, émission, "La tête au carré") que démontrer qu'une proposition est indécidable (dans une théorie donnée) était "une mauvaise nouvelle" (il est vrai que ce n'est qu'un mathématicien (pour que les choses soient claires : c'est une plaisanterie)), alors que le logicien que je suis, dirait plutôt "excellente nouvelle", puisque cela nous offre trois théories au lieu d'une.

[ansset]

bjr:
trois "théories" ?
ce n'est pas pour pinailler ! mais ce fil a pour but de redonner les sens aux mots employés.
et que je lis avec gourmandise.
Cdt

[PlaneteF]

J'ai été particulièrement choqué, il y a quelques mois, d'entendre Cédric Villani dire (Sur France Inter, émission, "La tête au carré") que démontrer qu'une proposition est indécidable (dans une théorie donnée) était "une mauvaise nouvelle" (il est vrai que ce n'est qu'un mathématicien (pour que les choses soient claires : c'est une plaisanterie)), alors que le logicien que je suis, dirait plutôt "excellente nouvelle", puisque cela nous offre trois théories au lieu d'une.

Petite illustration de cela : La commutativité est indécidable dans la théorie des groupes ^(*) ... Comme dirait l'autre "même pas peur !"

^(*) Je rajoute même, évidemment, et surtout heureusement, sinon la logique que l'on aurait mis en place serait complètement bancale, quel sens cela aurait-il de pouvoir statuer sur la commutativité alors qu'il existe des groupes commutatifs et d'autres qu'ils ne le sont pas ?! On en revient une fois de plus à l'importance de cet édifice répondant au théorème de complétude de Gödel.


Cdt

[contrexemple]

Remarque ma question doit se penser dans les mathématiques et non dans la logique....
Car il me semble que dans l'usage commun (en mathématiques), une proposition est toujours démontrer.

[Médiat]

Bonjour,

trois "théories" ?

Si est une formule indécidable dans la théorie (forcément consistante), alors on peut étudier 3 théories :





Les théorèmes de sont alors des théorèmes de et de

[ansset]

merci pour ta réponse rapide.
Cdt

[azizovsky]

Bonsoir, postulat du parallélisme :
il existe une seule..... : géométrie d Euclide.
il n'existe aucune ......: .................de riemann.
il existe plus d'une droite ....: géométrie de Lobatchevski.
il existe 3 théorie .
selon Gödel, une proposition indécidable peut être rajouter à la thoéorie comme axiome .(ce que j'ai compris) (le dernier mot à Médiat et merci d'avance)

[Médiat]

Bonsoir, postulat du parallélisme :
il existe une seule..... : géométrie d Euclide.
il n'existe aucune ......: .................de riemann.
il existe plus d'une droite ....: géométrie de Lobatchevski.
il existe 3 théorie .

C'est plus compliqué que cela, vous avez déjà 3 théories de la façon suivante :
Sans axiome sur les parallèles
Avec axiome d'Euclide
Avec négation de l'axiome d'Euclide (ce qui n'est ni l'axiome de Riemann, ni celui de Lobatechevski)

selon Gödel, une proposition indécidable peut être rajouter à la thoéorie comme axiome

C'est exact, mais ce n'est pas dû à Gödel, c'est une des définitions de "indécidable".

[PlaneteF]

Bonjour,

Je suis convaincu que le choix du vocabulaire à une incidence non négligeable sur la mauvaise compréhension des notions de décidabilité et de complétude évoquées précédemment :

En effet lorsque l'on ne maîtrise pas un sujet, un réflexe naturel et inconscient est de se raccrocher au vocabulaire que l'on connaît. Le problème est que comme souvent il y a un décalage entre le vocabulaire du langage (méta)mathématique et celui du langage naturel. Ici les termes "indécidable" et "incomplet" ont dans le langage naturel une connotation fortement négative : "Incomplet" veut dire qui n'est pas complet donc qu'il y a quelque chose de manquant, ... "Indécidable" quant à lui laisse penser à une situation floue et non maîtrisée. Hors comme cela a été dit précédemment il n'en est rien, c'est même le contraire !

Du coup je propose un nouveau vocabulaire qui selon moi capture mieux ces notions avec de surcroît une connotation résolument positive :

Plutôt que de dire qu'une formule est indécidable dans la théorie , on pourrait dire que est -émancipée.

Pour ce qui est des notations, dans ce cas plutôt que d'écrire et (avec connotation potentiellement négative du symbole ), on pourrait écrire qui se lirait émancipe .

De la même manière, toujours dans ce cas, au lieu de dire que est une théorie incomplète, on pourrait dire que est une théorie bi-enrichissable.


Je suis profondément convaincu que l'adoption d'une telle terminologie ou semblable réduirait de manière significative les mauvaises interprétations de ces notions, que l'on voit à longueur de temps


N.B. : Si vous avez d'autres suggestions de terminologie, n'hésitez pas à le faire partager !


Cdt

[Khwartz]

Bonjour, je vais probablement être accusé de "déterrer" cette discussion, ou je sais plus comment les Modérateurs appellent ça dans leur jargon, mais il me semble qu'il n'y a rien de mal à REMERCIER les Intervenants d'une discussions même ancienne si l'on trouve que le contenu de la discussion est toujours Pertinent (ou alors il faut que l'on m'explique le problème ! )

Bref, en espérant cette fois-ci que mes Remerciements ne seront pas jetés à la poubelles ^_^, je tiens tiens donc, vous l'aurez compris, à :

Remercier les différents Intervenants de cette discussion que je trouve Très Profitable ; je les Remercie de leur Temps et de leur Compétence doublée d'une Parfaite Clarté

Voilà, comme PlaneteF, je n'hésite pas "à dire ce que je pense", même pour des Compliments !

Cordialement,
Didier

PS : @PlaneteF : je vais essayer d'adopter ta proposition de nomenclature, comme toi, j'observe de le choix de la terminologie a un impact non négligeable sur la facilité d'apprentissage d'une science

[albanxiii]

(ou alors il faut que l'on m'explique le problème ! )

Aucun problème, vous faites juste un (mauvais) procès d'intention avec cette première phrase sans objet dont vous auriez pu vous passer.

[eudea-panjclinne]

Avec négation de l'axiome d'Euclide (ce qui n'est ni l'axiome de Riemann, ni celui de Lobatechevski)

C'est une géométrie où une droite peut donc avoir plusieurs parallèles ou aucune mais jamais une seule. Quelle est cette géométrie, si elle a un nom ?
Une géométrie d'une surface à courbure de Gauss non constante ?

[Médiat]

C'est une géométrie où une droite peut donc avoir plusieurs parallèles ou aucune mais jamais une seule.

C'est plutôt une géométrie ou au moins une droite et un point n'ont pas exactement 1 parallèle à la droite passant par le point

Quelle est cette géométrie, si elle a un nom ?

Pas que je sache, je ne suis pas sûr qu'elle ait un intérêt.

[eudea-panjclinne]

C'est plutôt une géométrie ou au moins une droite et un point n'ont pas exactement 1 parallèle à la droite passant par le point

Je pense que cette géométrie n'existe pas ou plutôt qu'elle se ramène à une des 2 classiques: soit la géométrie de l'angle aigu (Géométrie de Lobatchewski), soit la géométrie de l'angle obtus (Géométrie de Riemann de la sphère).
En effet, Saccheri à montré qu'en géométrie absolue (sans 5e postulat) si un triangle avait la propriété de l'angle aigu, ils l'avaient tous, de même pour l'angle obtus. Ce qu'on peut traduire par le fait que le plan géométrique est homogène. On peut donc penser que si une droite admet 0 parallèle, il en sera de même pour toutes les autres, de même si il existe une droite qui en admet plus d'une, il en sera de même pour toutes les autres.
Je vous accorde cependant que ceci reste qualitatif et demanderait à être précisément démontré.