Suite

[Tippex1]

Bonjour,

J'ai un petit soucis au niveau d'un exercice et j'aimerai savoir si quelqu'un pourrait m'aider :

Soit la suite (Un) définie par Un+1 = 1/(2+Un) et U0 = 1

a) Chercher la limite éventuelle :

on passe à la limite : L=1/(2+L) soit L²+ 2L -1=0 soit L= -1+ racine de 2 car Un > 0 ( par récurrence triviale)

b) Montrer que : l Un+1-L l ≤ l Un-L l / 4 , en déduire la convergence de (Un)

et là je sèche totalement, j'ai essayé plein de choses du genre inégalité triangulaire ect... mon erreur vient peut être de la question a) ? ..

Merci d'avance!
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[gg0]

Bonjour.

Une idée : En posant on obtient et on peut appliquer l'inégalité des accroissements finis.

Bon travail !

[Universus]

Bonjour,

Une idée : En posant on obtient et on peut appliquer l'inégalité des accroissements finis.

Ou plutôt que d'appliquer l'inégalité des accroissements finis, nous pouvons aussi noter ici que et borner supérieurement ce dernier terme... mais c'est une finale plus spécifique au problème actuel !

[Tippex1]

Re,

J'ai compris la méthode de Universus , cependant l'inégalité des accroissements finis.. je n'ai pas encore vu ( je suis en prépa 1ère année ), merci à vous deux!

Une dernière petite question : Il n'y a aucune ambiguïté à composer des inégalités par la fonction valeur absolue?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pour ta petite question :

Si x<y, |x| et |y| peuvent être dans n'importe quel ordre. Regarde avec x=2, y=3, puis x=-5, y=2.

Cordialement.

NB : Autrefois, l'inégalité des accroissements finis se voyait en terminale.

[Tippex1]

Ah, du coup ça de change de sens ... merci!

Je viens de me rendre compte d'un truc j'ai compris comment borner supérieurement,

mais je ne comprends pas pourquoi : l Un+1 - L l = l f(Un) - f(L) l pour moi ça serai plutôt l Un+1-L l = l f(Un) - L l ... on enlève L de chaque cotés non? :s

[Universus]

Ça vaudrait vraiment la peine de lire sur le théorème de accroissements finis (et donc sur l'inégalité éponyme) pour ensuite réfléchir à la solution proposée par gg0. Personnellement, avant que gg0 ne donne son indice, je n'avais jamais pensé à cette démarche. Je la trouve très intéressante, puisqu'il s'agit d'une méthode de résolution (de ce type de problème) non seulement très générale, mais aussi très claire sur le plan conceptuel. Au contraire, ma démarche fonctionne parce que la suite considérée est bien particulière et nous n'en tirons aucune compréhension réelle de la suite : ce problème est « arrangé avec le gars des vues », comme on dit au Québec, donc nous demeurons sans arme face à d'autres problèmes moins « arrangés ».

[Tryss]

mais je ne comprends pas pourquoi : l Un+1 - L l = l f(Un) - f(L) l pour moi ça serai plutôt l Un+1-L l = l f(Un) - L l ... on enlève L de chaque cotés non? :s

On a que L=f(L)

[Tippex1]

Ahh d'accord, merci pour toutes vos réponses !

[Tippex1]

On a que L=f(L)

Tryss auriez vous une preuve ? j'ai cherché dans mes cours il n'y en a pas ... d'où je ne peux utilisé la relation même si intuitivement je pense avoir pigé : que le rang après Un = L sera égale à L ...

[Tryss]

Tryss auriez vous une preuve ? j'ai cherché dans mes cours il n'y en a pas ... d'où je ne peux utilisé la relation même si intuitivement je pense avoir pigé : que le rang après Un = L sera égale à L ...

Tu as pourtant écris cela dans ton premier post:
"on passe à la limite : L=1/(2+L) "

Ce qui est exactement L=f(L)