Nombre d'opérations pour calculer un déterminant

[falco1810]

Bonjour,

Je cherche une formule permettant de calculer le nombre d'additions et de multiplications nécessaires pour le calcul d'un déterminant d'ordre n.

Quelqu'un connaitrait il la formule générale et serait il la démontrer?

Merci
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[Médiat]

Bonjour,

Par récurrence, cela ne devrait pas poser de problème.

[Dynamix]

Salut
La démonstration est simple et tu peux trouver la formule tout seul (ce qui est nettement plus instructif)
Le principe est que :
Pour calculer un déterminant nxn tu multiplies n termes par n déterminants (n-1)x(n-1)
En partant de 2x2 tu remontes à 3x3 , de 3x3 à 4x4 ... et tu généralises .

[falco1810]

Oui je suis d'accord on effectue n calculs de déterminants d'ordre n-1 puis on effectue n multiplications et n -1 additions.
Mais comment trouver une formule générale?

Je l'ai fait à l'ordre 3 j'obtiens 9 multiplications et 5 additions
à l'ordre 4 j'obtiens 40 multiplications et 23 additions...

Mais je ne parviens pas à en tirer une formule générale

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Commencez par écrire les relations de récurrences

[Dynamix]

Je l'ai fait à l'ordre 3 j'obtiens 9 multiplications et 5 additions
à l'ordre 4 j'obtiens 40 multiplications et 23 additions...

A moitié pas bon .
Si tu additionnes n produits , tu as n-1 signes plus .
Les produits , c' est les poteaux et les plus , c' est les intervalles .

[Dynamix]

PS
Ce qu j' entends par produit :
(a.b.c.d) c' est un produit de 4 termes .

[falco1810]

Si je dis à l'ordre 3 il y a :
18 multiplications et 5 additions est-ce mieux?
Par contre la généralisation?
on dirait que se dessine un n.n! pour les multiplications et pour les additions je dirais n²-n-1?
Mais je ne sais pas le prouver!
Merci de votre aide.

[falco1810]

Après m'être endormi dessus, au café j'obtiens plutôt n! produits et donc si j'ai bien compris ton explication Dynamix n!-1 additions.
Est ce bien çà?

[minushabens]

Il y a des méthodes de calcul de déterminant beaucoup plus rapides que le développement selon une colonne. La méthode de Gauss est en n^3.

[falco1810]

Il y a des méthodes de calcul de déterminant beaucoup plus rapides que le développement selon une colonne. La méthode de Gauss est en n^3.

Oui, mais la question est combien nécessite de produits et additions le calcul d'un déterminant d'ordre n en développant par ligne ou par colonne.

[Dynamix]

Après m'être endormi dessus, au café j'obtiens plutôt n! produits et donc si j'ai bien compris ton explication Dynamix n!-1 additions.
Est ce bien çà?

Oui , c' est ça :
n! produits
(n-1).n! signes x
n!-1 additions

[falco1810]

Merci beaucoup de votre aide.