Orthogonalité

[mona123]

bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a demontrer que
si on a H est un espace de Hilbert. Soit A un sous-ensemble non vide de H . Montrer que
A^⊥ = A^⊥⊥⊥
A^⊥ = {v ∈ H| ≤v, w≥ = 0 pour tout w ∈ A}
MERCI EN AVANCE.
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[Universus]

Bonjour,

Cela découle des faits suivants :

1) Si est un ensemble non vide, alors est un sous-espace vectoriel fermé.

2) Si est un sous-espace vectoriel, alors est égal à la fermeture de . En particulier, si E est fermé, alors .

Le plus difficile est possiblement de montrer l'inclusion , donc je vais le montrer. Pour ce faire, mieux vaut montrer cela après avoir montré (ça, je ne le ferai pas). Ceci fait, en prenant un élément , nous pouvons considérer sa projection orthogonale sur ; notons-la . Ainsi, . Puisque (ça serait aussi à montrer), il en résulte que par définition de w. Donc et cela oblige , donc . v étant arbitraire, .