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comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

  1. ep78

    Date d'inscription
    mars 2006
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    7

    comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    bonjour,

    voici mon problème :
    je souhaite tracer une courbe à partir de 2 données :
    -la distance séparant les points sur la courbe
    -l'angle que fait la tangente de ces points

    est ce réalisable et comment ?

    voici ma série de point :
    0cm-0°
    5cm-22°
    8cm-30°
    14cm-40°

    cela correspond en fait à des mesures effectuées sur la colonne vertébrale. Je voudrais pouvoir reproduire graphiquement la courbure du dos (région lombaire).

    pouvez vous m'aider SVP?
    merci

    -----

     


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  2. chris111

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Localisation
    Grenoble (France)
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    44
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    417

    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    J'ai peur qu'il y ait une infinité de fonctions répondant à ta questions.

    Une serait décrite par un polynome de Lagrange.
    Une autre pourrait avoir un point d'inflexion entre deux de tes points (pour un dos ce serait plutôt grave -c'est juste pour illustrer).

    edit: Oulala, je suis fatigué. Tu parles d'abcisses curvilignes donc pour les polynomes de Lagrange c'est rapé. Mais je maintiens l'infinité des fonctions solutions.
    Patient est le pompier, car il commence à chaque fois en bas de l'échelle
     

  3. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
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    2 041

    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    Bonsoir,

    Regarde du côté des splines, ou des courbes de Bézier (Google ou Wikipedia!)

    Je cherche un lien simple pour référence.

    A+,

    -- françois
     

  4. ep78

    Date d'inscription
    mars 2006
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    51
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    7

    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    la difficulté pour moi est de tracer la courbe à partir des seules données que je vous ai précisées...
    je patauge joyeusement pour le moment.
     

  5. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    57
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    2 041

    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    Citation Envoyé par ep78
    la difficulté pour moi est de tracer la courbe à partir des seules données que je vous ai précisées...
    je patauge joyeusement pour le moment.
    Bin de toutes façons, quatre points ne suffisent pas à déterminer une courbe... Mais chris111 a raison, je n'avais pas fait gaffe qu'il s'agit (probablement) d'abscisses curvilignes (tu peux confirmer stp?); et alors, comment tu définis précisément "l'angle que fait la tangente" (avec une direction de référence, je suppose?)

    -- françois
     


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  6. martini_bird

    Date d'inscription
    octobre 2004
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    Paris
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    6 910

    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    Salut,

    une méthode pratique consiste à dessiner sur du papier millimétré les points et les tangentes correspondantes : un bon coup de crayon peut faire l'affaire.

    Sinon, pour avoir un modèle mathématique, le plus simple consiste à relier les points par des segments; mais tu peux inclure des critères de lissité en raccordant des arcs de parabole ou utiliser les splines qui elles minimisent une "énergie" (on me contredira sur ce dernier point si mes souvenirs me trompent).

    Cordialement.

    EDIT : grillé...
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
     

  7. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
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    2 041

    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    Une fois encore, bien vu, martini_bird. Une spline minimise effectivement une énergie de déformation: à l'origine, une "spline" était un genre de règle souple, que l'on ajustait aux points voulus. Pour une colonne vertébrale, ça me paraît un critère raisonnable.

    -- françois
     

  8. ep78

    Date d'inscription
    mars 2006
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    Messages
    7

    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    qu'appelles tu abscisse curviligne ?
    est ce la distance sur la courbe ? dans mon cas, j'ai mesuré sur la courbe directement.
    Dans la pratique, j'ai posé un mètre de couturière sur le dos d'un patient et ai ensuite mesuré à l'aide d'un inclinomètre la valeur de la tangente en plusieurs points.
    L'inclinomètre a été étalonné à 0° pour la vertébre de départ. Les autres valeurs d'inclinaison sont donc notées par rapport à la première.
    J'espère que c'est clair car pour moi les maths et la géométrie, c'était il y a bien longtemps.

    Quel outil informatique peut me permettre de dessiner cette "spline" en ne rentrant que les valeurs que je vous ai données?
     

  9. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
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    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    C'est clair. Le mètre de couturière, c'est bien l'abscisse curviligne. Et l'inclinomètre, c'est bien l'angle par rapoprt à une direction de référence.

    Il va vraiment falloir que j'aille me pieuter. Ça va faire bientôt 18 heures que j'ai les yeux collés à cet écran...

    Une réponse demain dans la matinée, promis.

    -- françois
     

  10. ep78

    Date d'inscription
    mars 2006
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    Messages
    7

    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    merci à vous tous pour votre aide, j'espère que vous aurez une réponse à ce problème...
     

  11. martini_bird

    Date d'inscription
    octobre 2004
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    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    En tout cas, c'est loin d'être un problème simple !

    Bonne nuit (mention spéciale pour François ).
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
     

  12. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
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    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    Citation Envoyé par martini_bird
    En tout cas, c'est loin d'être un problème simple !

    Bonne nuit (mention spéciale pour François ).
    Merci. Mais je suis pas encore couché!

    -- françois
     

  13. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
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    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    Citation Envoyé par ep78
    Quel outil informatique peut me permettre de dessiner cette "spline" en ne rentrant que les valeurs que je vous ai données?
    Normalement, c'est ce que font de base les logiciels de dessin vectoriel : tu places tes points, la tangente voulue, et tu obtiens ta courbe. Il y a longtemps j'utilisais CorelDraw qui faisait ça très bien, mais tu dois avoir beaucoup de logiciels qui font ça maintenant (et des gratuits, ce que n'est pas CorelDraw).
     

  14. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
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    2 041

    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    Presque bien vu, matthias. Sauf que ep78 n'a la valeur de la tangente qu'en certaines valeurs de l'abscisse curviligne... Ça complique un peu, mais ça dot rester faisable.

    -- françois
     

  15. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
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    4 439

    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    Citation Envoyé par fderwelt
    Presque bien vu, matthias. Sauf que ep78 n'a la valeur de la tangente qu'en certaines valeurs de l'abscisse curviligne... Ça complique un peu, mais ça doit rester faisable.
    Pour les autres, il suffit d'un peu d'imagination, ou d'un bon bon processus pseudo-aléatoire, après tout ep78 n'a pas demandé toutes les courbes possibles (en nombre infini d'ailleurs si on ne cherche pas à optimiser quoi que ce soit).

    Non sérieusement, ça ne me semble pas poser de problème, à ceci près qu'il faudrait plus d'informations que la distance entre deux points et la direction de la tangente en chaque point pour avoir une courbe qui commence à ressembler à quelque chose d'approchant la réalité. Il faudrait la position approximative de chaque point et non pas seulement la distance les séparant.
     

  16. ep78

    Date d'inscription
    mars 2006
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    7

    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    étant donné le résultat recherché, je pense que l'on peut tracer des segments de droites reliant les points en considérant que chaque droite à un coefficient directeur en rapport avec l'inclinaison mesurée aux différents points.
    Existe-t-il un moyen de faire cela automatiquement dans un tableur par exemple, on retrouverait ainsi les coordonnées x,y de chaque point.
    Il faut que je retourne à la pêche d'info sur les vecteurs, je ne sais même plus comment on fait ce type de calculs... c'est pas beau de vieillir
     

  17. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
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    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    Bonjour,

    Si une approximation par des segments de droite te suffit, c'est très facile, même avec des abscisses curvilignes (qui ne sont plus très curvilignes dans ce cas ).

    Voir la figure jointe. Tu as 4 points Mi, de coordonnées (xi,yi). La "tangente" en Mi fait un angle ai (au fait: attention au signe de tes angles! il me semble qu'une colone vertébrale a plutôt une forme en S, non? peut-être pas sur 15cm dans la région lombaire). Et la longueur entre Mi et Mi+1 est li.

    On peut toujours prendre M0 = (0,0) comme origine. Après, il suffit de faire:
    xi+1 = xi + li cos (ai)
    yi+1 = yi + li sin (ai)
    ce qui se fait sans problème sur un tableur.

    Mais attention! La "courbe" obtenue ne peut (ne doit) pas être extrapolée en-dehors des points M0 à M3 -- ça reviendrait à prolonger les segments l0 et l2 avant M0 et après M3 respectivement...

    De toutes façons, il serait plus agréable d'avoir au moins une courbe "lisse", au moins C1... Je continue à regarder, mais c'est plus subtil que je ne m'y attendais.

    -- françois
    Images attachées
     

  18. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
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    2 041

    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    Bonne nouvelle!

    Je viens de le faire sur Excel (ça prend une demi-minute), et je m'aperçois qu'Excel sait lisser une courbe pour qu'elle n'ait pas une tête de ligne brisée comme j'ai dessiné...

    Il n'y a rien à faire, c'est juste une option de "Insérer un graphique". Je suppose que OpenOffice Calc sait faire pareil.

    -- françois
     

  19. ep78

    Date d'inscription
    mars 2006
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    51
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    7

    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    merci beaucoup, impecable, cela me convient...
    je vais maintenant tester si dans la pratique si c'est utilisable facilement.
    merci encore, vous êtes sympas.

    Emmanuel
     

  20. martini_bird

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    octobre 2004
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    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    Salut,

    une chtit' remarque à propos de la généralisation du problème de ep78 : la question de déterminer une courbe optimale à partir de la donnée de tangentes en des points définis par leurs abscisses curvilignes me paraît loin d'être triviale !

    En effet, comment adapter les modèles de Bézier dans ce cas?

    D'un autre point de vue, on pourrait interpoler (les tangentes) et utiliser la théorie des enveloppes, mais qu'est-ce qui garantit que la courbe obtenue est "optimale"?

    Bref, que de questions!

    Cordialement.

    PS : Si on dévie trop de la requête de ep78, je déplacerai les messages hs dans un nouveau fil.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
     

  21. chris111

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    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    Salut,
    Je suis content de voir que j'avais vu la difficulté du problème (j'ai pas trop vieillit, d'un autre coté ep78 l'avait vue avant moi ), même si j'ai loupé les splines.

    Treves de paisanteries, place aux questions:
    martini_bird, qu'entends tu par "optimale"? Quel critère pourrait être optimisé?

    Accesoirement, pourrais-tu me rappeller la différence entre une spline et une courbe de Bezier (mes cours de CAO sont un peu loin).

    fderwelt, sais tu quelle méthode utilise excel pour le lissage?

    Désolé, je n'ai que des questions aujourd'hui...
    Patient est le pompier, car il commence à chaque fois en bas de l'échelle
     

  22. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
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    2 041

    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    Réponse directe à martini_bird et chris111, et pour info / culture générale à ep78.

    Effectivement, c'est loin d'être trivial. Abscisse curviligne ou pas (ce cas ne fait d'ailleurs qu'ajouter une dimension au problème, et n'est donc pas essentiellement différent).

    Si on se donne n points (xi,?), le (?) voulant dire qu'on ne connaît pas les yi=f(xi), mais on sait que (en ces points) f'(xi) = 0... eh ben, même comme ça, il n'est pas du tout évident de faire passer une courbe qui tienne la route!

    Et non, je ne connais pas la méthode de lissage de Excel. C'est probablement une spline cubique, vu que c'est une "fonction de base" de M$-Windows, mais je n'en sais pas plus. Et j'ai eu beau chercher, toutes les méthodes numériques que je connais présupposent que l'on a une idée des yi. Et que les courbes de Bézier sont très sensibles au simple déplacement d'un point de contrôle (on devrait d'ailleurs dire "point de commande", mais c'est une autre question).

    Alors je continue à chercher, je ne voudrais pas qu'il soit dit que les développeurs de M$ en savent plus que Moi.

    -- françois
     

  23. ludagirl 97310

    Date d'inscription
    mars 2008
    Messages
    1

    Re : comment tracer une courbe à partir de tangentes ?

    bonsoir a tous!!!!j'aimerais avoir de la'aide svp !!! j'ai 1 exercice sur" comment tracer une tangente "
    - on me demande de tracer la tangente à C en A !!
    je l'ai fait mais j'ai des doute donc de l'aide svpj'ai aussi un petit probleme sur comment trouvé un nombre derivé !!
     


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