La distance ne doit pas empêcher l'amour

[falco1810]

Voici un exercice que je ne parviens pas à terminer.
Soit un entier naturel et soit un sous-ensemble non vide de
On pose , x où est la norme euclidienne sur
1. Montrer que pour tous x, y on a


Ici pas de problème avec l'inégalité triangulaire et la symétrie de la distance

2. Montrer que pour tout x on a
où est l'adhérence de

Ici encore pas de problème en utilisant et les propriétés des minorants

3. Montrer que

Ici non plus pas de problème en partant deon a donc

4. Montrer que si F et G sont deux fermés de non vides et disjoints, alors
pour tout

La non plus pas de problème

5. Montrer que sous les hypothèses de la question précédente il existe une fonction continue
telle que pour tout et pour tout x

Ok ici encore avec

6.Montrer que dans le cas où n=2 et F est le cercle centré en 0 et de rayon 1 on a pour tout

Ici par contre j'ai besoin d'aide, cette question semble simple pourtant...

7. Sous les hypothèses de la question précédente déterminer et dessiner les ensembles:
et
Pour chaque j=0, 1 donner l'intérieur et la frontière de , puis dire en justifiant la réponse si est compact ou connexe
-----

[gg0]

Bonjour.

Un dessin montre que pour x non nul, d(x,F) est aussi d(x,x/||x||). Ceci justifié, le calcul se fait bien. je n'ai pas essayé de justifier.

Cordialement.

[falco1810]

d(x,F) correspond au rayon de la plus grande boule ouverte de centre x qui ne va pas rencontrer F, c'est à dire le cercle de centre 0 et de rayon1.
Donc j'aurais tendance à écrire que l'on s'approche de l'ensemble : , la boule de centre 0 et de rayon
Bien entendu, j'apporte rien à la discussion.
Je bloque également sur la question 7 puisque de fait je ne parviens pas à calculer les ensembles.

[gg0]

Sur un dessin, on voit clairement où est le point du cercle C (de centre (0,0) et de rayon 1) le plus proche du point x. Il ne reste qu'à prouver que c'est x/||x||. C'est le point de tangence du cercle C avec le plus petit cercle de centre x tangent au cercle C.
Il y a des tas de moyens de faire cette preuve, du niveau fin de lycée, tu vas bien y arriver, non ?

NB : On peut tracer la demi-droite [Ox).

[A voir en vidéo sur Futura]

[falco1810]

Oui bien sur.
Toutefois j'aimerais démontrer le résultat directement par le calcul en partant des équations du cercle et de la boule.

Concernant la question 7, les ensembles ressemblent à des voisinages!!!
On cherche donc l'ensemble tel que la distance entre le point x et le cercle de centre 0 et de rayon 1 soit:
a) <1/2
b)
Mais comment l'écrire à partir de l'expression d'une norme?

[gg0]

Oui bien sur.
Toutefois j'aimerais démontrer le résultat directement par le calcul en partant des équations du cercle et de la boule.

Eh bien fais-le ! Bien qu je ne vois pas ici l'intérêt de parler de boule.tu définis x=(x1,x2), puis tu appliques la définition; tu n'as pas besoin qu'on te donne l'équation du cercle ni comment calculer la norme euclidienne, j'espère !

Nb : je semble me moquer de toi, mais tu traines tellement sur cette question élémentaire ... et tu as fait des questions tellement plus délicates ! Il faudrait que tu t'y mettes, c'est toi qui fais l'exercice.

[falco1810]

Oui tu as raison, je traine un peu. En même temps je suis pas pressé!!
Je ne suis pas étudiant, je suis simplement un chef d'entreprise amoureux des mathématiques qui trouve des exercices et cherche à les résoudre.
Je fais tout çà par simple plaisir.
Pour l'équation du cercle je devrais m'en sortir et pour le calcul de la norme euclidienne également.
Donc je vais m'y mettre, mais à mon rythme.
Merci quand même.

[gg0]

Ok !

Je vais relativiser ...
La plupart des intervenants dans ce forum le font pour les raisons mêmes qui te font chercher : Plaisir des maths, plaisir de chercher et de trouver ou faire trouver. Certains, comme toi, n'ont pas de métier ou de carrière passée liés au maths.

Cordialement.

[falco1810]

Bon j'ai un peu avancé.
Pour la question 6, j'affirme que
Donc
Je trouve çà un peu brutal, mais bon!!!
Pour la question 7, on a clairement pour le cas l'ensemble
Par contre je ne parviens pas à y aboutir par calcul.
Qu'en pensez-vous

[gg0]

Bon j'ai un peu avancé.
Pour la question 6, j'affirme que

C'est manifestement faux pour les points intérieurs au cercle. Et si c'est une simple affirmation, c'est faux.
Un examen sur le dessin du point du cercle qui réalise la distance minimum à x (non nul) donne quelques idées, pour une preuve, géométrique, ou algébrique. La suite est accessible à un bon élève de terminale.

Pour la question 7, on a clairement pour le cas l'ensemble
Par contre je ne parviens pas à y aboutir par calcul.

Difficile de faire la 7 quand on n'arrive pas à faire la 6.

J'ai l'impression que tu as peur de te lancer dans les calculs nécessaires à la preuve.

Cordialement.

[falco1810]

C'est manifestement faux pour les points intérieurs au cercle. Et si c'est une simple affirmation, c'est faux.
Un examen sur le dessin du point du cercle qui réalise la distance minimum à x (non nul) donne quelques idées, pour une preuve, géométrique, ou algébrique. La suite est accessible à un bon élève de terminale.

Difficile de faire la 7 quand on n'arrive pas à faire la 6.

J'ai l'impression que tu as peur de te lancer dans les calculs nécessaires à la preuve.

Cordialement.

Exact, bien vu, j'ai zappé les points pouvant se trouver à l'intérieur du cercle!!!!
Je vais recommencer.
Merci

[falco1810]

Alors disons que a est un point de F (cercle de centre 0 et de rayon 1).
Alors, si x est à l'extérieur du cercle
et si x est à l'intérieur

Donc 1er cas:

Donc,

De même,
Donc,

Donc les deux égalités permettent de conclure:


C'est mieux?

[gg0]

Alors, si x est à l'extérieur du cercle

Ah bon ? Pourquoi ?
D'ailleurs, d(x,a) n'est pas défini dans l'énoncé. Mais disons que d(x,a)=||x-a|| puisque c'est ce que tu sembles utiliser ensuite. Alors c'est faux : Prends par exemple x=(2,1) et a=(-1,0).

Pour l'instant, tu donnes l'impression de "faire des calculs", sans t'occuper vraiment de l'énoncé, ni de la réalité mathématique.
Alors que ta "preuve" deviendra utile si a est un point bien particulier de F. Et que tu relies la distance de x à F à ce point a particulier. Mais j'ai l'impression que tu n'as même pas fait un dessin pour voir ce qu'est la distance de x à F.

[azizovsky]

Slt, il suffit de démontrer que l'application écart est fini et que

[gg0]

Azizovsky,

tu as dû te tromper de sujet, poster au mauvais endroit.

[azizovsky]

Azizovsky,

tu as dû te tromper de sujet, poster au mauvais endroit.

c'est possible, je viens de lire ce que j'ai dans : cours d'analyse ,Tome II , toplologie, G choquet. (quand l'application distance est équale à l'application écart).

[gg0]

Quel rapport avec le sujet ?
Serais-tu un Bot ?

[azizovsky]

Quel rapport avec le sujet ?
Serais-tu un Bot ?

je ne vais pas répondre car j'ai du réspect pour toi .

j'ai fait les maths avec des gares que l'un d'eux est classé le 3 ème dans les olympiades....

[gg0]

Je posais la question, car c'est caractéristique des robots informatiques de répondre à partir de quelques mots glanés dans le texte, sans tenir compte du sujet.

Évite de répondre en prenant un morceau de bouquin (même si tu le comprends) alors que quelqu'un essaie de faire un travail déjà nettement engagé : Tu fais très souvent ça, ça ne sert à rien au poseur de question, qui parfois ne sait même pas de quoi tu parles.
Et ici, tu étais tellement à côté de la plaque que c'en est désagréable. Alors par respect (pas seulement pour moi, pour les questionneurs), essaie d'être utile.

Cordialement.

NB : Je ne peux pas juger de tes capacités mathématiques par tes fréquentations. Je ne juge que ce que tu écris ici.

[azizovsky]

Et ici, tu étais tellement à côté de la plaque que c'en est désagréable. Alors par respect (pas seulement pour moi, pour les questionneurs), essaie d'être utile.

Cordialement.

NB : Je ne peux pas juger de tes capacités mathématiques par tes fréquentations. Je ne juge que ce que tu écris ici.

ok, message reçu, tous mes excuses, pour mes capacité en maths avec l'âge, ils tendent vers 0.

[falco1810]

Ok, inutile de vous battre!!!!!
Toutes les aides sont le bienvenue!!!
J'ai bien effectué le dessin du cercle de centre 0 et de rayon 1 qui est mon ensemble F, mais le croquis ne m'aide pas plus dans ma résolution!!!!
Je ne parviens toujours pas à démontrer

[gg0]

Je t'ai proposé dès le début une méthode. le point x/||x|| est l'intersection du cercle avec la demi-droite qui va du centre au point x, le point du cercle le plus proche de x.