Série de Fourier

[Imhere]

Bonjour,

j'ai besoin de votre aide pour démarrer un exercice sur les séries de Fourier.

Ma fonction n'est ni paire, ni impaire, f(x)=e^x-pi.

La formule est bien f(x)=

Je sais que quand la fonction est paire le membre avec le sinus n'est pas à considérer et que quand elle est impaire on ne considère pas le cosinus.


Ici, n'étant ni paire ni impaire, j'utilise toute la formule ?
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[gg0]

Pourquoi poser cette question ?

Agis intelligemment. Tu as une formule à appliquer, applique-la ...

[azizovsky]

Slt, d'abord la série de Fourier s'écrit : avec:
(k=1,2,....)

il n'y a pas de pi dans cos. et sin.

[Imhere]

Merci,

je trouve a₀=

et pour bk, en ayant fait une intégration par parties,

bk=

Est-ce juste ? pour l'instant ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Imhere

Il manque un élément essentiel à ton énoncé : Sur quel intervalle est prise la série de Fourier (ou, ce qui revient au même : quelle est la fonction périodique concernée) ?


Azizovsky : Pour une fonction périodique de période 2, il y a bien des Pi dans les sin et cos. Donner une formule sans préciser à quoi elle s'applique n'a pas bien de sens !!!

Cordialement.

[azizovsky]

oui , c'est vrai, dans une fonction périodique de période , on fait le changement de variable .

(les maths ce n'est pas mon truc..., toujours prêt à apprendre ).

[Imhere]

Désolé,

fonction de période définie sur [0,)

[azizovsky]

même avec la période 2 : avec:
(k=1,2,....)

la période c'est 1 si ce n'est pas pi pour avoir ta première formule.

[gg0]

Dans ce cas-là, il n'y a pas de Pi dans les sin et cos, et la formule est

la formule générale étant

avec où T est la période.

Ok pour ton a₀. Par contre, mon robot calculateur ne trouve pas la même chose pour b_n. Il a un Pi en plus au dénominateur. Sans compter que a une valeur vraiment très simple !!!

Cordialement.

[Imhere]

Finalement je trouve :

bk=

j'avais oublié de 2/T (donc 1/ en facteur)

Et

ak=

[gg0]

Je n'ai pas ça pour a_k.

[Imhere]

ak= ?

[gg0]

Bizarre, tes ak ne tendent pas vers 0 ....

[Imhere]

Je devrais trouver quoi GGo ? Que je puisse faire le chemin inverse.

[azizovsky]

puisque je termine ce que je commence, ta fonction est définie sur , pour appliqué le formalisme de Fourier qui est définie sur fait un changement de variable pour revenir à , bonne continuation.

[gg0]

Je devrais trouver quoi GGo ? Que je puisse faire le chemin inverse.

Ça m'étonnerait que tu puisse trouver le calcul à partir du résultat simplifié.
Quel calcul as-tu fait ?
En gros, le problème vient des n² au numérateur. Si tu donnes ton calcul (à priori correct au départ, puisque tu as trouvé bon pour les bk) on pourra vérifier où il y a problème.

Cordialement.

[gg0]

puisque je termine ce que je commence, ta fonction est définie sur , pour appliqué le formalisme de Fourier qui est définie sur fait un changement de variable pour revenir à , bonne continuation.

Totalement inutile, comme f est périodique, on peut travailler sur n'importe quelle période. Et c'est ultra-classique.

Cordialement.

[azizovsky]

Salut, j'ai fait un petit calcul, je ne trouve pas la même chose que toi, et ma démarche est la suivante :



car l'intégrale d'une fonction périodique de période on'a: , et



avec
donc:



c'est le matin s'il y'a des petites erreurs...

[gg0]

Azizovsky,

tu as quasiment fini le calcul, pourquoi t'arrêter là ?
Ton calcul est plus lisible si tu calcules du départ a_k+ib_k.

On est donc bien tous d'accord pour b_k. Reste à savoir pourquoi Imhere trouve des k² dans a_k. Tant qu'il n'écrit pas le calcul ...

Cordialement.

[Imhere]

Bonjour,

Merci sincèrement pour votre aide

aK=

[Omega3.0]

Bonjour,
je trouve a_n = (exp( Pi )- exp(- Pi ))/ ( 1 + k²), b_n = 0

C'est cohérent avec une vérification sur Xcas qui permet de calculer les coéfficients d'une série de Fourier.

fourier_an(exp(x - pi),x,2*pi,4,0) (pour k=4)

Résultat
(exp(pi)-exp(-pi))/(17*pi)
A+

[gg0]

Oméga3.0,

tu n'as manifestement pas utilisé la fonction donnée par Imhere, qui n'est pas une fonction paire. Tes bn=0 donnent une fonction paire.

Cordialement.

[Omega3.0]

Bonjour,
Je crois que c'est la bonne fonction mais je me suis plante de fichier Word pour copier ma réponse.
Voici une version Latex

[gg0]

C'est bien ce qu'avait trouvé Imhere !

[Omega3.0]

Convergence en fonction du nb de termes
Fin