Problème newtonien le plus simple

[hclatomic]

Bonjour,

Il y a quelques jours je vous demandais de résoudre l'équation différentielle . Très aimablement, et avec une grande rigueur Universus m'a donné la solution (voir http://forums.futura-sciences.com/ma...enseigner.html).

Universus explique que pour ce qui concerne le problème newtonien, il n'y a pas de solution évidente. Je voudrais cependant vous demander votre avis sur le problème simple suivant : 2 corps laissés immobiles l'un par rapport à l'autre et ne subissant que l'attraction de Newton entre eux.

Jérôme Perez, de l'Ecole Nationale Supérieure des Techniques Avancées, nous apprend ici que l'équation différentielle à résoudre dans le problème des deux corps, de masses et est la suivante :
, où , G est la constante de gravitation et est la distance séparant les deux corps.

Si les deux corps n'ont aucune vitesse initiale, ils sont donc laissés fixes l'un par rapport à l'autre, alors seule la loi d'attraction de Newton agit et les deux corps vont se rapprocher l'un de l'autre en progressant sur la droite (de vecteur directeur ) qui les relie. Dès lors l'équation précédente peut être réécrite comme suit :

L'équation différentielle à résoudre sera donc : (1)
et pas .

Est-ce que je me trompe ?

En partant de la solution donnée par Universus, au signe près, on voit qu'une solution de (1) est : . Bien sûr cette solution n'est valable que si le mouvement se fait sur une droite.

Pouvez-vous me dire si mon raisonnement est correct, ou si j'ai encore loupé une marche ?

D'avance merci pour votre aide.
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[Universus]

Bonjour,

Il s'agit bien d'une solution à l'équation (1), solution correspondant à la situation suivante :

Les deux masses se déplacent le long d'une droite, l'énergie mécanique totale du système (dans le référentiel du centre de masse) étant nulle (le potentiel à l'infini étant pris nul). Pour cette solution, le temps t=0 correspond à une collision entre les deux masses : qui plus est, nous pouvons interpréter la solution comme décrivant une collision élastique. Aux limites , la distance séparant les deux masses tend vers l'infini et les vitesses tendent vers zéro. En ce sens, cette solution décrit un cas limite (dans la limite du moment cinétique nul) des solutions paraboliques au problème de Kepler.

Notez que est aussi une solution quel que soit . Cela dénote de l'invariance dans le temps des solutions du problème newtonien considéré.

[hclatomic]

Grand merci Universus !

Qu'on soit bien d'accord : l'équation différentielle (avec le signe négatif) est bien celle qui doit être appliquée dans le cas très particulier que je décris ?

Je veux en être absolument certain, sinon je vais encore me faire arracher la tête dans le forum de physique

A vous lire,
Cordialement

[Calvert]

Je veux en être absolument certain, sinon je vais encore me faire arracher la tête dans le forum de physique

La solution donnée par Universus est valable, je cite :

Aux limites , la distance séparant les deux masses tend vers l'infini et les vitesses tendent vers zéro.

Ce qu'on essaye de t'expliquer sur le forum de physique, c'est que cela ne corredpond PAS au problème qui t'intéresse, à savoir, une vitesse initiale nulle pour un rayon strictement différent de l'infini.

La solution d'Universus est certes une solution, mais la particule possede toujours une vitesse non-nulle.
La solution unique d'une équation différentielle, ce n'est pas seulement une relation qui vérifie l'équation différentielle, mais aussi le respect des conditions initiales.

[A voir en vidéo sur Futura]

[hclatomic]

Et ben vous n'étiez pas assez clairs

Je vois ce que tu veux dire. Effectivement, un mobile sur cette trajectoire possède toujours une vitesse non nulle, sauf à l'infini.

Bon alors pas assez d'effet notable de ce côté là pour espérer mesurer directement l'attraction de Newton. Sauf à utiliser des moyens de mesure ultra précis. C'est pas gagné.

Cela dit il reste la solution de donner la bonne vitesse, la bonne accélération, aux deux masses à la bonne distance, puis de voir s'ils suivent bien cette trajectoire. Pas facile à faire non plus.

Un grand merci pour votre aide, je ressors d'ici plus savant.
Cordialement
Hervé