Exercice, décomposer un polynôme dans R

[BznTT]

Bonjour,

Après quelques heures de galères je viens demander de l'aide pour la première fois sur un forum.

Voici l'énoncé :



J'ai donc fais la méthode qui consiste à dire :

(A/(x+2)) + ((Bx+C)/(x²-x+1))

Je trouve A en posant A=[f(x)(x+2)) avec X=-2

Je trouve A = 2.

Ensuite je remplace A dans l'équation ci-dessus et je regroupe les termes.
Je m'occupe du numérateur et j'obtiens, à celui-ci :
x²(B+2)+x(2B+C-2)+(2C+2)

Je cherche donc à identifier les termes et c'est là que tout semble faux, c'est que je n'ai rien en x^3 comme dans l'équation de départ au numerateur,

J'ai donc mon système d'équations avec :
B+2 = 6
2B+C-2=2
2C+2=2

Mais je trouve un résultat non cohérent et je n'arrive pas à savoir si j'ai fais une erreur ou si mon raisonnement est faux depuis le début.


Merci d'avance de votre précieuse aide.
-----

[CARAC8B10]

[CARAC8B10]

Erreur de ma part, j'ai répondu sans trop réfléchir !
Numérateur et dénominateur sont de même degré : 3
Effectue d'abord leur division euclidienne pour obtenir la partie entière de f(x) avant d'effectuer la décomposition ...

[BznTT]

Merci de ta réponse

Je pense m'en être sortis en calculant A de la même manière mais en posant :

A/x+2 + Bx²+Cx+D/x²-x+1

En développant on trouve un résultat cohérent où B = 1, C=2 et D=0

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir BznTT.

Quand on apprend ces méthodes, on apprend qu'il est plus simple de travailler avec des fractions rationnelles (ce n'est pas un polynôme) de degré du numérateur inférieur à celui du dénominateur. Et que si ce n'est pas le cas, une simple division euclidienne permet de s'y ramener.
Donc le mieux est de suivre le conseil de carac8b10. D'autant que ce que tu as fait au message #4 n'a aucun intérêt, la deuxième fraction n'étant pas un élément simple.

Cordialement.

[BznTT]

Merci de ta réponse gg0,

J'ai donc fais la division euclidienne mais je trouve 1 au quotient et 5x²+3x au reste.
J'ai donc :

f(x) = 1*(x^3+x²-x+2) + 5x²+3x
Mais à partir de là je ne vois pas vraiment comment je peux décomposer la fonction sur R

Merci encore.

[gg0]

J'ai donc :

f(x) = 1*(x^3+x²-x+2) + 5x²+3x

Non !

Tu as oublié le dénominateur :
Et il te reste à décomposer la fraction avec les méthodes que tu connais.

Bon travail !

[BznTT]

Merci énormément !

Je crois avoir terminé, ce qui sans ton aide aurait été bien plus difficile, j'ai aussi compris quelques points !

Mon résultat final est : f(x) = 1 + (2)/(x+2) + (3x-1)/(x²-x+1)

J'ai compris mon erreur d'avoir gardé un numérateur de degré plus élevé pour utilisé cette méthode.


Il me reste une petite question si tu le veux bien et que tu as encore envie de me répondre, surement bête mais voilà :
Comment arrives-tu à trouve la fonction que tu m'as donné dans ton message #7 ?
Pour moi quand on fait une division euclidienne on a par exemple :
21/5 = 4*5 + 1
Alors pourquoi ici on a 4 + 1/5 ? je sais pas si je suis très clair dans ma question et elle est surement débile mais bon ..

Merci encore pour ton aide précieuse !

[gg0]

Bravo.

Mon esclave numérique est d'accord avec toi.

Pour ta question, si tu examines l'égalité 21/5 = 4*5 + 1 un peu sérieusement, tu verras que le second membre fait 21, pas 4,2 (21/5).
la division euclidienne donne 21 = 4*5+1. Reste à diviser par 5.

Cordialement.

[BznTT]

C'est compris !

Merci énormément pour votre aide, sans vous je me serais bien planté au DS et je pense que c'est la première fois depuis des années (vraiment) que j'aurais la moyenne, voir une bonne note

Merci encore et bonne fin de journée !

[iharmed]

Bonsoir BznTT.

Quand on apprend ces méthodes, on apprend qu'il est plus simple de travailler avec des fractions rationnelles (ce n'est pas un polynôme) de degré du numérateur inférieur à celui du dénominateur. Et que si ce n'est pas le cas, une simple division euclidienne permet de s'y ramener.
Donc le mieux est de suivre le conseil de carac8b10. D'autant que ce que tu as fait au message #4 n'a aucun intérêt, la deuxième fraction n'étant pas un élément simple.

Cordialement.

$

vous parlez de polynome.
est ce que polynôme/polynôme est un polynôme ?

[OY1951]

Bonjour iharmed,

Votre question
"est ce que polynôme/polynôme est un polynôme ?"
La réponse est semblable à celle que vous donneriez à la question suivante:
"est ce (nombre entier)/(nombre entier) est un entier?".

Cordialement.

N.B: au moyen de la méthode d'O.R. il est possible de décomposer par exemple

(x³+6x²+2x+2)/((x+2)⁴(x^2+3x+4)³)

"à la main" en un laps de temps "record" de l'ordre de 5 mn ! ! ! !

[BznTT]

Bonjour OY1951,

Quel est cette méthode d'O.R par hasard ? je n'en ai jamais entendu parler !

Merci d'avance

[gg0]

C'est une méthode inventée par OY1951, qu'il a modestement nommée de son nom (Il n'utilise plus que les initiales).
Comme le moindre logiciel de calcul formel fait ça plus rapidement (Quickmath a trouvé en 4 secondes, en ligne), c'est de très peu d'intérêt.C

Cordialement.

[iharmed]

Bonjour iharmed,

Votre question
"est ce que polynôme/polynôme est un polynôme ?"
La réponse est semblable à celle que vous donneriez à la question suivante:
"est ce (nombre entier)/(nombre entier) est un entier?".

Cordialement.

N.B: au moyen de la méthode d'O.R. il est possible de décomposer par exemple

(x³+6x²+2x+2)/((x+2)⁴(x^2+3x+4)³)

"à la main" en un laps de temps "record" de l'ordre de 5 mn ! ! ! !

la question est : est ce que, toujours, polynôme/polynôme est un polynôme ?"

[gg0]

La réponse évidente est non.

En réfléchissant un minimum, on évite de poser des questions inutiles : Il est en fait très rare que le quotient de deux polynômes en soit un.