Analyse de hilbert

[invitef53905f1]

onjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a montrer l'equivalence suivante:
Soit X un espace linéaire normé. Soit A ∈ B (X) et laisser {A_n} ⊂ B (X) de telle sorte qu'il exist
C est une constante avec //A// ≤ C et //A_n// ≤ C pour tout n. Montrer que A_n → A dans B (X) si et
que se il ya un sous-ensemble dense Y ⊂ X tel que A_nx → Ax pour tout x ∈ Y.merci en avance.
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[invitef53905f1]

bonjour voici l'ennoncé correct:
Soit X un espace linéaire normé. Soit A ∈ B (X) et soit {A_n} ⊂ B (X) de telle sorte qu'il exist une
constante
C telque //A// ≤ C et //An// ≤ C pour tout n. Montrer que A_n → A dans B (X) si et sulement si
il ya un sous-ensemble dense Y ⊂ X tel que A_nx → Ax pour tout x ∈ Y.

remarque //.// designe la norme dans B (X)
merci en avance.

[invitef53905f1]

bonjour voici ma reponse pouvez vous s'il vous plait me la corriger:
Soit X un espace vectoriel normé. Soit A ∈ B (X) et laisser {A_n} ⊂ B (X) de telle sorte qu'il exist
C est une constante avec ||A|| ≤ C et ||A_n|| ≤ C pour tout n.
1) supposons que A_n → A dans B (X) et montrons qu' exist un sous-ensemble dense Y ⊂ X tel que A_nx → Ax pour tout x ∈ Y
on a ||A_n - A||=sup _x∈X\{0}||A_n(x) - A(x)||_/||x||
on a donc pour tout x∈X ||A_n(x) - A(x)||≤||A_n - A||→0 quand n tend vers ∞ car par hypothese A_n → A dans B (X)
ce qui implique que pour tout x∈X A_n(x) → A(x)
par suite il exist Y=X dense dans X telque A_n(x) → A(x) pour tout x ∈ Y
2)supposons
qu' il exist un sous-ensemble dense Y ⊂ X tel que A_nx → Ax pour tout x ∈ Y et montons que A_n → A dans B (X)
soit x∈ X [*][/*]comme Y est dense dans X ,∀ x∈ X il existe une suite (y_n)∈Y telque y_n→x
donc ∀ x∈ X ,∀ε>0 ,∃N₁>0 telque ∀n≥N₁ ||x-y_n||≤ε_/3c [*][/*]de plus par hypothese on a ∀y ∈ Y ,∀ε>0 ,∃N₂>0 telque ∀n≥N₂ ||A_n(y) - A(y)||≤ε_/3
parsuite on a ∀ x∈ X ∀ε>0 ∃N=max(N₁,N₂)>0 telque ∀n≥N:
|| A_nx-Ax||=||(A_nx-A_ny_n)+(A_ny_n-Ay_n)+(Ay_n-A x)||≤||A_n(x) - A_n(y_n)||+||A_n(y_n) - A(y_n)||+||A(y_n) - A(x)||≤||A_n||.||x-y_n||+||A_n(y_n) - A(y_n)||+||A||.||x-y_n||≤c.ε_/3c+ε_/3+c.ε_/3c=ε
parsuite on a ∀ x∈ X ,∀ε>0 ,∃N>0 telque ∀n≥N || A_nx-Ax||≤ε
ce qui donne A_n → A dans B (X) .
merci en avance.

[invite93e0873f]

Bonjour,

1) supposons que A_n → A dans B (X) et montrons qu' exist un sous-ensemble dense Y ⊂ X tel que A_nx → Ax pour tout x ∈ Y
on a ||A_n - A||=sup _x∈X\{0}||A_n(x) - A(x)||_/||x||
on a donc pour tout x∈X ||A_n(x) - A(x)||≤||A_n - A||→0 quand n tend vers ∞ car par hypothese A_n → A dans B (X)
ce qui implique que pour tout x∈X A_n(x) → A(x)
par suite il exist Y=X dense dans X telque A_n(x) → A(x) pour tout x ∈ Y

Ça me semble bon, quoiqu'à la troisième ligne, nous devrions lire « [...] [...] ». L'argument tient quand même.

2)supposons
qu' il exist un sous-ensemble dense Y ⊂ X tel que A_nx → Ax pour tout x ∈ Y et montons que A_n → A dans B (X)
soit x∈ X [*][/*]comme Y est dense dans X ,∀ x∈ X il existe une suite (y_n)∈Y telque y_n→x
donc ∀ x∈ X ,∀ε>0 ,∃N₁>0 telque ∀n≥N₁ ||x-y_n||≤ε_/3c [*][/*]de plus par hypothese on a ∀y ∈ Y ,∀ε>0 ,∃N₂>0 telque ∀n≥N₂ ||A_n(y) - A(y)||≤ε_/3

D'accord, bien que ce soit écrit de façon un peu maladroite : dans l'idéal, il vaudrait mieux fixer un x (arbitraire), de sorte que nous puissions aussi fixer une suite . Autrement, ça fait un peu étrange de continuer avec les « » ...

Il faut garder à l'esprit que vos énoncés, tels qu'écrits, indiquent l'existence de fonctions et . Une fois fixé x, nous pouvons simplement penser à . Par contre, voyant comment votre argument s'enchaîne, nous ne pouvons oublier la dépendance de en . Du coup, la suite de votre argument échoue à un moment.

Puisque vous n'utilisez la fonction que pour et que cette suite est de Cauchy, il y a de quoi faire pour considérer une fonction qui soit supérieure à pour tout m suffisamment grand, disons . (Notez que je suis prudent à distinguer les indices m et n.) Je vous laisse penser à la façon de s'y prendre.

parsuite on a ∀ x∈ X ∀ε>0 ∃N=max(N₁,N₂)>0 telque ∀n≥N:

Considérant ma remarque précédente, il faut prendre . La présence de M ici n'est que pour tenir compte du fait que vous considérez m=n, pour ainsi dire, dans la ligne suivante de l'argument.

Si nous laissions tomber ma remarque, alors vous devriez considérer , qui peut être infini (du moins, de prime abord).

|| A_nx-Ax||=||(A_nx-A_ny_n)+(A_ny_n-Ay_n)+(Ay_n-A x)||≤||A_n(x) - A_n(y_n)||+||A_n(y_n) - A(y_n)||+||A(y_n) - A(x)||≤||A_n||.||x-y_n||+||A_n(y_n) - A(y_n)||+||A||.||x-y_n||≤c.ε_/3c+ε_/3+c.ε_/3c=ε
parsuite on a ∀ x∈ X ,∀ε>0 ,∃N>0 telque ∀n≥N || A_nx-Ax||≤ε

D'accord. Gardons encore à l'esprit que le N ci-dessus est, de prime abord, fonction de x.

ce qui donne A_n → A dans B (X) .

Vous allez trop vite en affaire. Dire que , c'est dire que et donc que uniformément sur la boule . C'est une affirmation plus forte que celle que vous avez démontrée, puisque nous ne savons pas encore si N peut être pris indépendant de x (pour ). Vous avez donc à montrer le résultat suivant :

« Si sont des éléments de de norme inférieure à C>0 et si dans pour tout , alors dans . »

[A voir en vidéo sur Futura]