Espace de Hilbert

[jinmu]

Bonjour,

Soit H l'espace de Hilbert réel . Soit

1)F est-il fermé dans H?

Pour cette question, je dirais que non. En effet, j'ai vu (je crois sur ce forum) un contre-exemple avec la suite de fonctions définie comme suit : si , si et
si qui converge vers qui est non continue.

2) F est-il dense dans H?

Là j'ai tenté de montrer que mais sans succès.

3) Existe-t-il tel que pour tout ,

J'ai tenté d'appliquer le théorème de projection sur un convexe d'un espace de Hilbert sans succès. Je dirais que la réponse est non, mais je n'arrive pas à le prouver.

Une aide. Merci


Merci d'avance.
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[Jedoniuor]

Bonjour,

Pour la 2) vous pouvez essayer comme ceci , on a:

a) Un sous-espace de H est dense si et seulement si son orthogonal est réduit à ; (du cours)

b) Si $G$ est le sous-espace des fonctions continues sur [0,1], G est dense dans H; (du cours)

c) Le sous-espace



est inclus dans F.

A l'aide de c) et b), montrez que l'orthogonal de F est réduit à (vous avez <g,xh>=<xg,h>) et concluez à l'aide de a).

Cordialement.

[jinmu]

Merci pour votre réponse. Je pense avoir pu répondre à cette question. Pour la question 3), avez-vous une piste?

[Jedoniuor]

Bonsoir,
Cette question 3) n'est pas très claire. Est-ce que c'est :

Soit fixé. Existe-t-il tel que



Dans ce cas, comme F est dense dans H, il en résulte que le second membre est toujours 0 (car il existe une suite f_n d'éléments de F qui converge vers g), et si un tel f_0 existe on a f_0=g, auquel cas .

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jinmu]

Merci Jedoniuor . Votre interprétation de la question est conforme à ce que je voulais dire. Désolé du manque de précisions.