Suite et démo par récurrence

[jojoxxp4]

Bonjour,

Je dispose d'une suite définie par:
a₁ = 1
a_n+1 = ln(1+a_n)


Et je bloque sur la démo par récurrence qui consiste à prouver que:

a_n ≥ 1/n



Merci pour toute aide !
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[Seirios]

Bonjour,

Et qu'as-tu fait pour l'instant ?

[jojoxxp4]

Rien de spécial, juste que:

Supposons que a_n > 1/n
1 + a_n > 1 + 1/n
ln(1 + a_n) > ln(1 + 1/n)
a_n+1 > ln(1 + 1/n)

Mais comment montrer que ln(1 + 1/n) > 1/(n+1) ?

[Tryss]

On peut étudier la fonction f(x) =ln(1+1/x)-1/(x+1) et voir qu'elle est décroissante et a pour limite 0 en l'infini

[A voir en vidéo sur Futura]