Convergence forte

[mona123]

bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a demontre ce resultat:
Soit X un espace vectoriel normé. Soit A ∈ B (X) et laisser {A_n} ⊂ B (X) de telle sorte qu'il exist
C est une constante avec ||A|| ≤ C et ||A_n|| ≤ C pour tout n.
Supposons que A_nx → Ax pour tout x ∈ X.
Donner un exemple pour montrer qu' il ne doit pas être le cas que ||A_n - A||→ 0.
voici ma reponse:
on considere Soit X un espace de Hilbert de base et muni de la norme infinie ||x||∞ =
on considere
\displaystyle A_n=\sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle e_k
on a A=Id est lineaire et vérifie ||A(x)||=||x||∞ ≤1 pour tout x appartenant a la boule unité par suite A ∈ B (X) et ||A||≤1
de meme on montre la linéarité de A_n grace a la linearité du produit scalaire par rapport a la premiere variable et on a
||A_n(x)||≤||x||∞≤1 pour tout x appartenant a la boule unité par suite A_n ∈ B (X) et ||A_n||≤1
on a ||A_n(x) - A(x) ||=||mais je ne sais pas comment continuer pouvez vous m'aider s'il vous plait.merci
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[Médiat]

Bonjour,

Merci de mettre tout votre texte mathématique au format latex, et n'oubliez pas de cliquer sur le bouton [TEX]

Médiat, pour la modération

[Universus]

Bonjour,

bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a demontre ce resultat:
Soit X un espace vectoriel normé. Soit A ∈ B (X) et laisser {A_n} ⊂ B (X) de telle sorte qu'il exist
C est une constante avec ||A|| ≤ C et ||A_n|| ≤ C pour tout n.
Supposons que A_nx → Ax pour tout x ∈ X.
Donner un exemple pour montrer qu' il ne doit pas être le cas que ||A_n - A||→ 0.

À la fin de ce message, mise à part la bourde consistant à dire que plutôt que dans X, c'est tout le contraire que je sous-entends. Plus explicitement, j'affirme que

« Soit X un espace vectoriel normé. Soient des opérateurs tous de norme inférieure à une constante C > 0. Supposons que pour tout x ∈ X. Alors dans B(X). »

Procédons par contraposée et supposons que . Il faut montrer qu'il existe tel que .

Par hypothèse, il existe et une « sous-suite » tels que pour tout k. Par ailleurs, . Donc la suite réelle est dans le compact . Ainsi, il existe et une « sous-suite » telles que . Il reste donc à montrer

« Soit X un espace vectoriel normé. Soient et tels que . Alors il existe tel que . »

Ça devrait être assez facile à démontrer...

[mona123]

bonjour Universus vous en effet notre prof nous a dernierement corriger ancien enoncer et voila celui corrigé:
Soit X un espace vectoriel normé. Soit A ∈ B (X) et laisser {An} ⊂ B (X) de telle sorte qu'il exist
C est une constante avec ||A|| ≤ C et ||An|| ≤ C pour tout n.
Supposons que A_nx → Ax pour tout x ∈ X.
Donner un exemple pour montrer qu'on n'a pas necessairement ||A_n - A||→ 0.
remarque : B (X) est l'ensemble des application de X a valeur dans X linéaire ,continue et borné
voici ma reponse:
on considere Soit X un espace de Hilbert de base (e_n) et muni de la norme infinie ||x||∞ =∑_n=1^∞ ⊂x,e_n⊃

on considere
A=Id
A_n=∑_k=1ⁿ ⊂x,e_k⊃e_k
on a A=Id est lineaire et vérifie ||A(x)||=||x||∞ ≤1 pour tout x appartenant a la boule unité par suite A ∈ B (X) et ||A||≤1
de meme on montre la linéarité de A_n grace a la linearité du produit scalaire par rapport a la premiere variable et on a
||A_n(x)||≤||x||∞≤1 pour tout x appartenant a la boule unité par suite A_n ∈ B (X) et ||A_n||≤1
on a ||A_n(x) - A(x) ||=||∑_k=1ⁿ ⊂x,e_k⊃e_k- ∑_k=1^∞ ⊂x,e_k⊃e_k ||=
|| ∑k=n+1∞ ⊂x,ek⊃ek ||
mais je ne sais pas comment continuer pour montre que Anx → Ax pour tout x ∈ X.
d'autre part on ecrit
|||A-A_n|||≥∥A_n(e_n+1)−A(e_n+1)∥/∥(e_n+1)∥=∥A(e_n+1)∥=1
par suite lim _n→∞ ||A-A_n||≥1
alors A_n ne tend pas vers A dans B(x)
pouvez vous m'aider s'il vous plait a corriger ma reponse et continuer pour montre que A_nx → Ax pour tout x ∈ X .merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Bonjour,

bonjour Universus vous en effet notre prof nous a dernierement corriger ancien enoncer et voila celui corrigé:
Soit X un espace vectoriel normé. Soit A ∈ B (X) et laisser {An} ⊂ B (X) de telle sorte qu'il exist
C est une constante avec ||A|| ≤ C et ||An|| ≤ C pour tout n.
Supposons que A_nx → Ax pour tout x ∈ X.
Donner un exemple pour montrer qu'on n'a pas necessairement ||A_n - A||→ 0.
remarque : B (X) est l'ensemble des application de X a valeur dans X linéaire ,continue et borné

Notez que dans mon message précédent, j'ai prétendu tout le contraire en écrivant :

j'affirme que

« Soit X un espace vectoriel normé. Soient des opérateurs tous de norme inférieure à une constante C > 0. Supposons que pour tout x ∈ X. Alors dans B(X). »

Sans surprise, je suis dans l'erreur. Ma bêtise se situe dans cet autre énoncé (cette bêtise étant exacerbée par la dernière phrase...)

« Soit X un espace vectoriel normé. Soient et tels que . Alors il existe tel que . »

Ça devrait être assez facile à démontrer...

Ça ne se démontre pas, puisque c'est faux. La vraie conclusion est plutôt « Alors il existe une suite telle que pour tout n. » Je prétendais que cette suite pouvait être prise constante, mais c'est faux.

Un énoncé bien connu, plus faible que celui que j'avais affirmé, est

« Soit X un espace vectoriel normé. Soient des opérateurs tous de norme inférieure à une constante C > 0. Supposons que pour tout x ∈ X. Alors . »

Dans le paragraphe suivant :

voici ma reponse:
on considere Soit X un espace de Hilbert de base (e_n) et muni de la norme infinie ||x||∞ =∑_n=1^∞ ⊂x,e_n⊃

on considere
A=Id
A_n=∑_k=1ⁿ ⊂x,e_k⊃e_k
on a A=Id est lineaire et vérifie ||A(x)||=||x||∞ ≤1 pour tout x appartenant a la boule unité par suite A ∈ B (X) et ||A||≤1
de meme on montre la linéarité de A_n grace a la linearité du produit scalaire par rapport a la premiere variable et on a
||A_n(x)||≤||x||∞≤1 pour tout x appartenant a la boule unité par suite A_n ∈ B (X) et ||A_n||≤1
on a ||A_n(x) - A(x) ||=||∑_k=1ⁿ ⊂x,e_k⊃e_k- ∑_k=1^∞ ⊂x,e_k⊃e_k ||=
|| ∑k=n+1∞ ⊂x,ek⊃ek ||
mais je ne sais pas comment continuer pour montre que Anx → Ax pour tout x ∈ X.
d'autre part on ecrit
|||A-A_n|||≥∥A_n(e_n+1)−A(e_n+1)∥/∥(e_n+1)∥=∥A(e_n+1)∥=1
par suite lim _n→∞ ||A-A_n||≥1
alors A_n ne tend pas vers A dans B(x)
pouvez vous m'aider s'il vous plait a corriger ma reponse et continuer pour montre que A_nx → Ax pour tout x ∈ X .merci

mises à part certaines coquilles, vous êtes sur la bonne voie. Dire que chaque suite converge vers est en fait équivalent à dire que est une base de Hilbert. J'imagine que cette équivalence est montrée dans votre cours.