Image d'une application linéaire

**Olav3** · 06/03/2015, 19h31

Bonsoir à tous

Il y a un exo d'algèbre sur lequel je bloque ... Voici l'énoncé :

Soit $\text{[math]}$ la base canonique de $\text{[math]}$ , et les éléments de $\text{[math]}$ suivants : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

J'ai d'abord montré qu'il existait une unique application linéaire $\text{[math]}$ telle que : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Et donc je trouve : $\text{[math]}$

Il m'est demandé maintenant de calculer une équation cartésienne de $\text{[math]}$ puis d'en donner une base.

J'ai d'abord essayé de montrer que la famille $\text{[math]}$ était génératrice pour ensuite en déduire que $\text{[math]}$ est l'image de $\text{[math]}$ mais je tourne en rond.

Après j'ai posé $\text{[math]}$ et essayé de résoudre le système mais je trouve une solution qui dépend d'un paramètre...

Merci de votre aide

**gg0** · 06/03/2015, 19h43

Bonjour.

Tu connais une famille génératrice de Im(w). Il est tellement plus simple de regarder si elle est libre qu'il ne faut pas s'en priver.

Essaie ...

**Olav3** · 07/03/2015, 13h13

Je ne comprends pas, ce serait $\text{[math]}$ la famille génératrice de $\text{[math]}$ ?

**gg0** · 07/03/2015, 13h36

Ben ... comme e₁, e₂ et e₃ engendrent R^3, il semble assez évident que leurs images engendrent l'image de w. Si ça ne te paraît pas évident, tu peux le démontrer, c'est facile.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Olav3** · 07/03/2015, 13h47

On a la base canonique de $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ donc par définition elle est génératrice et libre

Ensuite je ne vois pas ou tu veux en venir désolé

**gg0** · 07/03/2015, 13h51

Qui sont les éléments de Im(w) ? w étant linéaire, ils s'écrivent ... donc $(f_1, f_2, f_3)$ engendre Im(w).

Je ne peux pas réfléchir à ta place, et c'est à toi de faire les calculs, pour apprendre ...

**Olav3** · 07/03/2015, 14h02

Les éléments de Im(w) sont les éléments de $\text{[math]}$ ayant au moins 1 antécédent dans $\text{[math]}$ par w.
Comme la famille $\text{[math]}$ est génératrice de Im(w) d'après ce que tu as dit(mais elle n'est pas libre, je l'ai démontré hier), alors l'application w est surjective (théorème "Détermination d'une application linéaire").

D'après les propriétés du cours :

w surjective $\text{[math]}$ Im(w) = R³

**Olav3** · 07/03/2015, 14h18

Le seul point que je ne comprends pas c'est comment tu déduis que $\text{[math]}$ engendre Im(w)

**gg0** · 07/03/2015, 14h30

Et si tu mettais les mains dans le cambouis. Si tu arrêtais de manipuler les mots pour revenir à leur signification :
"Les éléments de Im(w) sont les éléments de $R^3$ ayant au moins 1 antécédent dans $R^3$ par w." Concrètement, ça veut dire que si y est un élément de Im(w) il s'écrit ...

C'est tellement simple de revenir à de l'élémentaire. Après, les théorèmes que tu évoques deviennent tellement évidents ... et ce que tu ne comprends pas l'est aussi.

**Olav3** · 07/03/2015, 14h37

Si y est un élément de Im(w) :

$\text{[math]}$

**gg0** · 07/03/2015, 14h44

Non !

Si y est un élément de im(w), alors y= ...
Et x s'écrit ...

**Olav3** · 07/03/2015, 15h06

$\text{[math]}$ (combinaison linéaire des vecteurs de $\text{[math]}$ )

Pour $\text{[math]}$ : il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$

**gg0** · 07/03/2015, 15h45

Ça démarre mal; et ça continue encore plus mal. Les deux phrases sont fausses dans cet exercice.

Par contre :
$\text{[math]}$ (définition de Im)
$\text{[math]}$ (base)

Je ne comprends pas pourquoi tu n'es pas arrivé à écrire ces choses élémentaires seul.

**Olav3** · 07/03/2015, 15h53

Oui je sais je m'embrouille tout seul désolé

**Olav3** · 07/03/2015, 15h57

En tout cas je te remercie de ton temps et de ta patience

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