Différentielle seconde de x^3sin(1/x)

[Jocpus.]

Bonjour pour exposer le fait que la symétrie de la hessienne n’entraîne pas que f est deux fois différentiable notre professeur nous a demander d'étudier la fonction :


Il tiens donc a nous montrer que cette fonction n'est pas différentiable d'ordre 2, malgré le fait que ce qui est le cas étant donné que les deux sont nulles. ( ce qui implique que la Hessienne est symétrique dans ce cas ).

Je n'arrive vraiment pas à démontrer que cette fonction n'est pas deux fois différentiable, j'ai voulu démontrer que ( car c'est la seule dérivée seconde non nulle ) n'est pas une forme quadratique car la différentielle d'ordre 2 est une forme bilinéaire; mais je ne sais pas si c'est correct ou suffisant, la notion de différentielle d'ordre 2 est encore assez floue pour moi et je n'arrive pas encore à rendre cette notion claire, pourriez vous m'aider ? Cordialement et merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Tu as essayé de calculer et en particulier sa valeur en (0,0) ?

Cordialement.

[Jocpus.]

La boulette j'ai oublié un terme dans ma dérivée seconde qui est en -3.cos(1/x) qui n'admet pas de limite en 0 ! Ce n'est donc pas différentiable d'ordre 2. Je ne savais pour ou j'avais la tête désolé du dérangement !