Décomposition en série de Fourier d'une fonction à deux variables

[lena9]

On a :
r^2*U''+r*U'+q^2*U=0 ...(1)
q^2=V''(téta)/V(téta) ..(2)
on pose r=exp(t) avec : t>0
U(exp(t))=z(t)
z'(t)=exp(t)*u'(exp(t))
z''(t)=(exp(t))^2*u''(exp(t))+ exp(t)*u'(exp(t))
on remplace dans (1) on trouve:
(exp(t))^2*u''(exp(t))+exp(t)* u'(exp(t))+q^2*exp(t)
ce qui donne: z''(t)+q^2*z(t)=0 ==>
alors z(t)=A*exp(i*q*t)+B*exp(-i*q*t)

donc U(r)=A*r^(i*q)+B*r^(-i*q)

v(téta)=C*exp(q*téta)+D*exp(-q*téta)

et A(r,téta)=u(r)*v(téta)=[A*r^(i*q)+B*r^(-i*q)]*[C*exp(q*téta)+D*exp(-q*téta)] ...(3)

je dois faire la décomposition en série de fourier de l'équation 3 et arriver à ce résultat:
A(r,téta)=A10 +A20*ln(r)+ Somme (n=0 à n=infini) [(A1n*r^n+A2n*r^-n)*sin(n*téta)] + Somme (n=0 à n=infini)[(A3n*r^n+A4n*r^-n)*cos(n*téta)]

je bloque sur l'étape de décomposition en série de Fourier de l'équation (3) sachant que c'est une fonction à deux variables!!!


merci
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[gg0]

Bonsoir.

Pour autant que je comprenne, seule v(thêta) est à développer en série de Fourier. Je suis quand même un peu surpris par tes sommes commençant à n=0 ce qui ne sert à rien pour [(A1n*r^n+A2n*r^-n)*sin(n*téta)] puisque sin(0)=0 et donne une deuxième constante pour [(A3n*r^n+A4n*r^-n)*cos(n*téta)]. Je ne comprends pas non plus pourquoi il y aurait un ln(r), mais comme je ne sais pas ce que vaut ce q qui disparaît d'une forme à l'autre (plus exactement, il est dans les coefficients Ain.

Mais en tout cas, il me semble qu'il suffit de faire la décomposition classique de C*exp(q*téta)+D*exp(-q*téta). Attention, si q est entier, la série se réduit fortement, C*exp(q*téta)+D*exp(-q*téta) est même la série complexe si C et D sont des réels.

Cordialement.