Décomposition en série de *filltheblank*

[Dbug59]

Bonjour à tous,

Je me demandais s'il était possible de décomposer une fonction (par exemple une fonction en forme de créneau) en une somme d'autre fonctions, de la même façon que l'on décompose une fonction périodique en une somme de cosinus et de sinus grâce aux séries de Fourier.

Dans mon cas, la fonction de décomposition serait une "parabole tronquée" définie par morceau grâce aux paramètres a_i, b_i et c_i (réels positifs) par:

g_i(x) = h/(R²*a_i*b_i²) * (R² - ((x-c_i)/b_i)² ) si x∈[ci−biR,ci+biR], avec (R,h)∈(R_+)²
= 0 sinon

Capture g.PNG

(NB: il s'agit en fait d'un morceau de parabole de hauteur h/(a_i*b_i²), de largeur 2b_i*R et centrée en c_i)
Capture.PNG

et ma fonction "créneau" serait définie par:
f(x) = H si x∈[x0,xf], avec H∈R_+, et (x0,xf)∈(R_+)²,x0<xf
= 0 sinon

Capture f.PNG

Des suggestions?

Merci d'avance
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[Médiat]

Des suggestions?

Bonjour,

Commencez par indiquer les raisons de votre proposition, puis écrivez des formules en utilisant Latex afin de les rendre plus lisibles :

g_i(x) = h/(R²*a_i*b_i²) * (R² - ((x-c_i)/b_i)² )

devient

Soyez plus rigoureux, vous annoncez des morceaux de paraboles dépendant de 3 paramètres et vous en utilisez 5 !

Définissez vos termes : qu'entendez-vous par décomposition d'une fonction (est-ce une somme finie, ou une limite de sommes, convergence simple ou uniforme ou ...) ?

PS : L'analyse de Fourier ne se limite pas aux fonctions périodiques

[Dbug59]

Je vous remercie de me rappeler à l'ordre, j'ignorais que latex était utilisable sur ce forum. Voici donc un éclairage avec plus de détails.
Je cherche à générer la trajectoire d’un effecteur de robot. Ce robot projette de la peinture par une buse (à débit constant) et je cherche à générer les passes de peinture permettant d’obtenir l’application de peinture la plus uniforme possible sur un mur plan.
Les passes de peinture sont parallèles et supposées de longueur infinie et la buse est orientée de manière orthogonale au mur (pour simplifier). Donc en faisant une section de mur (orthogonale à la direction des passes) je cherche à obtenir une application de peinture qui soit la plus uniforme possible.

La forme du spray est constante mais le dépôt de peinture d’une passe isolée dépend des seuls 3 paramètres dont je dispose. Il sont décrits ci-dessous:
• La vitesse de passe (variable d’une passe à l’autre mais constante sur une passe)
• La distance entre la buse et le mur (variable d’une passe à l’autre mais constante sur une passe).
• L’espacement entre 2 passes successives

Le profil d’épaisseur du dépôt de peinture (visualisé en faisant une coupe dans un plan normal à toutes les passes) pour une passe isolée est approximée par la fameuse « parabole tronquée ».

Influence des paramètres (sur le dépôt) :

Nous posons que le profil d’épaisseur de peinture pour une passe isolée est représenté par la fonction g_i.
La vitesse (représentée par le paramètre ) va faire varier l’épaisseur de peinture de manière linéaire (plus on va vite, moins on dépose de peinture).
La distance au mur (paramètre ) va faire varier l’épaisseur de peinture de manière quadratique et la largeur du dépôt de manière linéaire.
L’espacement (paramètre ) va faire varier l’endroit où le dépôt de peinture aura lieu.

Je souhaite obtenir un dépôt de peinture lorsque toutes les passes seront faites d’une forme qui se rapproche d’un créneau (c’est-à-dire un dépôt le plus uniforme possible).
D’où mon problème.

Je cherche à décomposer la fonction "créneau" de hauteur entre et , définie par :

en une série de fonctions "paraboles tronquées" paramétrées par les réels positifs et définies par morceaux par :


C'est-à-dire trouver les triplets tels que la fonction tende vers la fonction lorsque tend vers l'infini. Je pensais ensuite limiter la valeur de N (correspondant au nombre de passes).