Dérivabilité de x * racine de x

kNz · 05/03/2006 - 14h43

Bonjour à tous,

Dans un exercice, on me demande tout d'abord d'étudier la dérivabilité de la fonction $f(x)=x\sqr{x}$ , $\forall x$ appartenant à $[0;+\infty[$

Grâce au taux d'accroissement je trouve que f est dérivable en 0 et que $lim \sqr{h} = 0$ (quand h -> 0)

Ensuite, on me demande de justifier que f est dérivable sur $]0;+\infty[$ et de calculer f'(x) , pour x > 0.

J'ai écrit que l'on pouvait poser f(x) = u(x) * v(x) où u(x) = x et v(x) = $\sqr{x}$

Or la dérivée d'une telle fonction est :

f'(x) = u'(x) * v(x) + v'(x) * u(x)

Soit ici f'(x) = 1 * $\sqr{x}$ + $\frac{1}{2\sqr{x}}$ * x

Ici l'enseble de définition est donc $D_{f'} = ]0;+\infty[$

On a donc $\forall x$ > 0 , $f'(x) = \frac{3}{2} \sqr{x}$

On me demande ensuite de déduire des deux questions précédentes si l'équivalence suivante est vraie ou fausse :

u et v désignant deux fonctions sur un intervalle I, u * v est dérivable sur I ssi u et v sont dérivables sur I.

A première vue j'ai envie de répondre qu'elle est fausse, si on pose I = R+, u(x) = x et v(x) = $\sqr{x}$ , u et v sont toutes deux dérivables sur I, mais u * v ne l'est pas.

Mais en fait je me perd un peu là dedans, un coup de main serait le bienvenu ;o)

Merci beaucoup.

Cordialement.

Nox · 05/03/2006 - 15h06

Bonjour,

Pour ce qui concerne l'affirmation ton raissonenement est bon a priori

Cordialement,

Nox

kNz · 05/03/2006 - 17h47

Bon je reprend,

je me suis trompé :

A première vue j'ai envie de répondre qu'elle est fausse, si on pose I = R+, u(x) = x et v(x) = , u et v sont toutes deux dérivables sur I, mais u * v ne l'est pas.

En fait, ici u est dérivable sur I tandis que v est dérivable sur J = ]0;+oo[ et u est également dérivable sur J, car J est inclus dans I, par conséquent u*v est dérivable sur J.

Donc l'équivalence est vraie mais c'est de l'instinctif pour l'instat, si qqun pouvait m'aider

Merci.

Cordialement.

kNz · 06/03/2006 - 15h40

Bonjour,

Je ne comprend pas pourquoi on arrive à montrer que f(x) = x * racine de x est dérivable en 0, et qu'ensuite on nous demande de justifier que son ensemble de dérivabilité exclut le 0 :O

Merci.

Cordialement.

matthias · 06/03/2006 - 15h57

Tu t'emmêles un peu les pinceaux là.
Ce que tu sais, c'est que si u et v sont dérivables sur I, alors u*v est dérivable sur I.
Ce qu'on cherche à savoir c'est si il y a équivalence, c'est-à-dire si u*v est dérivable sur I, u et v sont-elles nécessairement dérivable sur I ?

Et c'est là que tu utilises u=x, v= $\sqrt{x}$ .
Tu sais d'office que u et v étant dérivables sur $]0;+\infty[$ , u*v est aussi dérivable sur $]0;+\infty[$ .
Ensuite tu montres à la main que en fait u*v est aussi dérivable en 0, donc u*v est dérivable sur $[0;+\infty[$ .
Ca c'est ce que tu a fait.
Et ça te donne un contre-exemple montrant que l'équivalence est fausse puisqu'ici tu as : u*v dérivable sur I= $[0;+\infty[$ sans que v soit dérivable sur I.

PS: fais attention le code LaTeX ne passe pas avec un simple copier/coller, il faut utiliser le bouton "citer".