Bonjour,
Tout est dans le titre.
Lorsque l'on nous demande Soit n ∈ N∗. Trouver une condition nécessaire et su ffisante sur les réels a et b pour que le polynôme
soit divisible par
Je n'ai jamais assimilé ce que signifiait "condition nécessaire et suffisante".
En gros, dans cet exemple, on doit trouver la "forme" de a et b pour que le reste de la division euclidienne soit nulle ?
Merci pour vos réponses.
Bonsoir.
Il s'agit de trouver une condition sur a et b équivalente à la divisibilité.
Donc dans ce cas, une propriété mathématique de a et b qui dit que P est divisible si et seulement si cette propriété est vraie. Et on peut même ma mettre sous la forme "a= ... et b = ..."
la propriété A est nécessaire pour B si elle est vraie dès que B est vraie. A est suffisante pour B si quand A est vraie, on est sûr que B est vraie. Donc si A est nécessaire et suffisante pour B, A et B sont des propriétés équivalentes.
Cordialement.
Bonsoir,
Merci pour votre réponse détaillée.
J'ai donc essayer de répondre à l'énoncé :
Pour que le polynôme P soit divisible par (X-1)², il existe Q quotient tel que P=Q(X-1)².
Avec 1 racine double.
Nous avons
Lorsqu'on évalue en X=1, on trouve :
P(1)=a+b+1=0
P'(1)=an+a+bn=0
Ainsi, est-ce que la condition nécessaire est suffisante sur a et b est bien : a+b+1=0 et an+a+bn=0 ?
Je vous remercie d'avance !
J'ai voulu éditer mais il était trop tard.
J'essaye de continuer...
Avec la première équation je trouve a=-b-1 et b=-a-1.
En injectant b dans la deuxième équation, je trouve an+a+(-a-1)n=0 => an+a-an-n=0 => a-n=0 => a=n.
Donc b=-n-1.
Est-ce juste ?
Effectivement c'est ça.
Si tu sais rédiger ça en termes d'équivalences, tu as fini. Sinon, tu laisses ce que tu as écrit, et tu as trouvé que si P(X) est divisible par (X-1)², alors a=n et b=-n-1. Il te reste à prouver que si a=n et b=-n-1, alors P(X) est divisible par (X-1)².
Cordialement.
